Trabajo 3

Cálculo Numérico – Programación Aplicada

INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA O SPLINES La construcción de polinomios de interpolación de grado alto aunque justificable teóricamente plantea muchos problemas. Por un lado, la forma de la función polinómica de grado alto a menudo no responde al fenómeno debido al gran número de extremos e inflexiones. Por otro lado, su cálculo es muy complicado, lo quelimita su utilidad en análisis numérico. Es a menudo más conveniente dividir el intervalo de interés en subintervalos más pequeños y usar en cada subintervalo polinomios de grado relativamente bajo, tratando de que la función a trozos definida de este modo tenga un aspecto final adecuado al fenómeno que estamos representando. La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar losdatos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación. Podemos decir, que una función spline está formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad. Cabe mencionar que entre todas, las splines cúbicas han resultado ser las más adecuadas.

Definición. (Splines de grado k)Dada nuestra tabla de datos,

donde suponemos que

x0 < x1 < L < x n , y dado

k

un número entero positivo, una función de

interpolación spline de grado k, para la tabla de datos, es una función S (x ) tal que :

i) ii) iii)

S ( xi ) = y i , para toda i = 0, 1, ..., n .
S (x ) es un polinomio de grado ≤ k en cada subintervalo [xi −1 , xi ] . S (x ) tiene derivada continua hastade orden k − 1 en [x0 , x n ] .

FUNCIONES SPLINES DE GRADO 1 Dados los n + 1 puntos

Una función spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos mediante segmentos de recta, como sigue:

1
Ing. Adriana M. Apaza – JTP Cálculo Numérico

Cálculo Numérico – Programación Aplicada

Claramente esta función cumple con las condiciones de la spline de grado1. Así, tenemos que para este caso:

 s1 ( x ) si s ( x ) s  s( x) =  2  M sn ( x ) si 
donde: i) ii)

x ∈ [x1 , x2 ]

x ∈ [x0 , x1 ]

x ∈ [xn −1 , xn ]

S j (x) es un polinomio de grado menor o igual que 1

S (x )

tiene derivada continua de orden k-1=0.

iii) S ( x j ) = y j , para j = 0,1,K , n . Por lo tanto, la spline de grado 1 queda definida como:

si  y0 + f [x1 ,x0 ]( x − x0 )  y + f [x , x ]( x − x ) si  1 2 1 1 s( x ) =  M   yn −1 + f [xn , xn −1 ]( x − xn −1 ) si 

x ∈ [x1 , x2 ] x ∈ [xn −1 , xn ]

x ∈ [x0 , x1 ]

donde f [ xi , x j ] es la diferencia dividida de Newton.

FUNCIONES SPLINES DE GRADO 2 Veamos un ejemplo concreto, consideremos los siguientes datos:

procedamos a calcular la interpolación por splines de grado 2. Primeroque nada, vemos que se forman tres intervalos:

[3, 4.5], [4.5, 7], [7, 9]

En cada uno de estos intervalos, debemos definir una función polinomial de grado 2, como sigue:

 a1 x 2 + b1 x + c1  s( x ) = a2 x 2 + b2 x + c2 a x2 + b x + c 3 3  3

si si si

x ∈ [4.5,7 ] x ∈ [7,9]

x ∈ [3,4.5]

Hacemos que la spline pase por los puntos de la tabla de datos, es decir, se debe cumplirque:

2
Ing. Adriana M. Apaza – JTP Cálculo Numérico

Cálculo Numérico – Programación Aplicada

s(3) = 2.5,

s (4.5) =1,

s(7) = 2.5,

s(9) = 0.5

Así, se forman las siguientes ecuaciones:

s(3) = 2.5 ⇒ 9a1 + 3b1 + c1 = 2.5
 ( 4.5) 2 a1 + 4.5b1 + c1 = 1 s ( 4.5) = 1 ⇒  2 ( 4.5) a2 + 4.5b2 + c2 = 1 49 a2 + 7b2 + c2 = 2.5 s ( 7 ) = 2.5 ⇒   49a3 + 7b3 + c3 = 2.5
s (9) = 0.5 ⇒81a3 + 9b3 + c3 = 0.5
Hasta aquí, tenemos un total de 6 ecuaciones con 9 incógnitas. El siguiente paso es manejar la existencia de las derivadas continuas. En el caso de las splines de grado 2, necesitamos que la spline tenga derivada continua de orden k-1=1, es decir, primera derivada continua. Calculamos primero la primera derivada:

 2a1 x + b1  s′( x ) = 2a2 x + b2  2a x + b 3  3...