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EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

1. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión enB. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?

Solución:
Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A
Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B

 
inversión
rendimiento
Tipo A
x
0,1x
Tipo B
y
0,08y
                                                                                        210000               0,1x+0,08y
Condiciones que deben cumplirse (restricciones):


R1   
R2   
R3   
R4       

Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones)

r1

r2 (paralela a OY)

r3 (paralela a OX)

r4
x
y

x
y

x
y

x
y
0
210000

130000
0

0
60000

0
0
210000
0

 


 130000
65000

La región factible es la pintada de amarillo, de vértices A, B, C, D y E.


 
A (0, 60000), B (120000, 60000), C (130000, 65000), D (130000, 80000) y E (0, 210000)
La función objetivo es:

F (x;y)= 0,1x+0,08y
Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice  mas alejado es el D, y por tanto es la soluciónóptima.
Comprobarlo analíticamente (es decir comprobar que el valor máximo de la función objetivo, F, se alcanza en el vértice D).



2. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts., mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho yproduce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio?
Solución:
En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos:
Tipo
Nº
Bizcocho
RellenoBeneficio
T. Vienesa
x
1.x
0,250x
250x
T. Real
y
1.y
0,500y
400y
 
 
150
50
 

Función objetivo (hay que obtener su máximo): f(x,y)=250x+400y. Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema):


Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la región factible:

Para: 0.25x+0.50y=50

Para: x + y =150
(x + 2y=200)

 
 
x
Y

x
Y0
100

0
150
200
0

150
0
La otras dos son paralelas a los ejes:
Al eje OY    x=125
Al eje Ox      y =125
Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las soluciones deben estar en el primer cuadrante.
La región factible la hemos coloreado de amarillo:

Encontremos los vértices:
El  O (0,0), el  A (125, 0) y el  D (0, 100) se encuentran directamente(son las intersecciones con los ejes coordenados).
Se observa que la restricción y es redundante (es decir “sobra”)
Resolviendo el sistema:

Por reducción obtenemos y=50, x=100
Otro vértice es el punto  C (100, 50)
Y el último vértice que nos falta es:
X=125,  Y=25  B (125, 25)
Los vértices de la región son O (0,0), A (125,0), B (125,25) y C (100,50) y D (0,100),
Si dibujamos el vectorde  dirección de la función objetivo f(x,y)=250x+400y
Haciendo 250x+ 400y =0,   y=-(250/400) x=-125x/200
x
Y
0
0
200
-125
 

Se ve gráficamente que la solución es el punto (100, 50), ya que es el vértice mas alejado (el último que nos encontramos al desplazar la rectas 250x+400y=0)
Lo comprobamos con el método analítico, es decir usando el teorema que dice que si existe...