Trabajo Algebra2

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD DEL ZULIA
NUCLEO: COSTA ORIENTAL DEL LAGO
PROGRAMA DE INGENIERIA















Realizado por:

Sección: 002
Cabimas, Mayo 2014

ESQUEMA
Espacios Vectoriales.
1. Operaciones en Rⁿ

2. Espacio Vectorial.
1.
2.
2.2. Definición de espacio vectorial.
2.3. Subespacios vectoriales.
2.3.1. Teoremas
2.4. Definición de Combinación Lineal.
2.5. SubespacioGenerado.
2.6. Dependencia e independencia Lineal.
2.7. Base de un espacio vectorial.
2.8. Dimensión de un espacio vectorial.
2.9. Espacio nulo de una matriz.
2.10. Vector coordenado respecto de una base.
2.11. Espacio columna de una matriz.
2.12. Producto Interno de conjuntos ortogonales.
3. Transformaciones Lineales.
3.1. Definición.
3.2. T. Inyectivas, T. Sobreyectiva, T. Biyectivas.
3.3.Transformaciones del plano.
3.3.1. Transformaciones de figuras Geométricas
3.1.
3.2.
3.3.
3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4. Algebra de transformaciones
3.4.1. Suma de Transformaciones.
3.4.2. Producto por un escalar.
3.4.3. Producto de Transformaciones.
3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5. Inversa de Transformaciones.
4. Diagonalización de una matriz.
4.1. Matriz deCambio de base.
4.2. Matriz semejante.
4.3. Valor y vector propio.
4.3.1. Definición.
4.3.2. Propiedades.
4.4. Polinomio característico y ecuación característica de una matriz.
INTRODUCCION

Analizaremos los conceptos más elementales del Algebra Lineal como pueden ser los espacios vectoriales, las transformaciones lineales, la Diagonalización de una matriz, etc.
En los espacios vectoriales sefundamenta una gran parte del algebra lineal. El estudio de los espacios vectoriales gira alrededor de dos conceptos: La combinación lineal de vectores y la base de un espacio vectorial, también dentro de los espacios vectoriales se encuentran sus subespacios, las combinaciones lineales, la dependencia e independencia lineal, estos puntos se establecen en el presente trabajo por medio de teoremasy ejercicios.
También analizaremos un tipo especial de función tal que manda elementos de un espacio vectorial a otro, pero que preserve las operaciones de linealidad, es decir; la suma y producto por un escalar, entre otros, a este tipo de transformaciones se le llaman lineales.














1. OPERACIONES EN EL ESPACIO RN.
Los vectores En R2 y R3 pueden ser sumados entre sí, y tambiénmultiplicarse por un escalar, se puede tomar en cuenta el desarrollo de las propiedades: conmutativas, asociativas y la existencia del elemento neutro, existencia de un inverso aditivo, entre otras. También existen conjuntos, en donde se pueden definir operaciones de suma y producto por un escalar que cumplan con las propiedades mencionadas anteriormente, y estos conjunto se definen como espaciosvectoriales.
Definición: Si n es un entero positivo, entonces n-ada es una sucesión de n números reales (a1, a2… an). Al conjunto de todas las n-adas ordenadas se le denomina espacio cartesiano de n dimensión y se denota mediante Rn.
Rn = {(a1, a2…. an) / ai, R, i = 1 , 2,…., n }
Para R5 → 5-ada , R3 → 3-ada y para R2 → 2-ada
Ejemplo 1 (3,-5,6,9,1,6) puede describir en punto (coordenadas) o unvector (componentes) en R5.
1) Dos vectores son iguales si tienen el mismo número de componentes y además sus componentes correspondientes son iguales. = (v1, v2 ,…., Vn ) y = (u1, u2 ,…, un) v1=u1, v2=u2,…., vn = un
2) Sean = (v1, v2 ,…., Vn ) y = (u1, u2 ,…, un) en Rn se define:
La suma de y + como :
+ (v1+ u2, v2+u2 ,…., vn+un)
Si es un escalar, el múltiplo escalar se define como:

=(u1, u2,…, un)

Teorema 1

Sean , y vectores en Rn y y escalares, entonces:

1) + = + (Propiedad conmutativa)
2) + ( +) =(+ ) + (Propiedad asociativa)
3) +0 = 0+ = (propiedad existencia elemento neutro)
4) ) = (propiedad asociativa de la multiplicación por un escalar)
5) + ) = + (propiedad distributiva de la multiplicación por un escalar respecto a la suma de vectores)
6) () = +...