TRABAJO ANALISIS MATEMATICO
INTRODUCCION
La base canónica o base usual es una colección de vectores linealmente independientes cuyo número coincide con la dimensión del propioespacio vectorial, es decir los módulos de los vectores son unitarios, o lo que es lo mismo, valen una unidad métrica, los vectores de la base se fijan a un punto de aplicación común, que es el punto de origen del sistema de referencia o punto cero. El espacio nulo de A se compone de todas las soluciones de Ax = 0. Estos vectores x pertenecen a Rn. Siendo así el espacio nulo que contiene todas lassoluciones de x se designa como N(A), La matriz A puede ser cuadrada o rectangular.
BASE CANÓNICA
La palabra canónica se refiere que está sometida a un canon, a una regla, a una norma o a un modelo.
Observa el siguiente vector
Las medidas para fijarlo en el plano nos hemos basado en el valor de las medidas de cada cuadrícula.
En el eje x hemos tomado seis cuadrículas y en eleje y 5.
Esto significa que al lado de cada cuadrícula le hemos asignado el valor 1 tal como queda reflejado en la figura siguiente.
Los vectores tienen por módulo 1, la longitud del lado de la cuadrícula. Las coordenadas de son respectivamente: y las de En ambos casos sus módulos valen:
Más adelante nos referiremos a estos vectores unitarios.
Noimporta en la medida del lado de cada cuadrícula, también en el dibujo siguiente las coordenadas de los vectores :
Tienen las mismas coordenadas, el vector tiene por coordenadas (1,0) y el vector a las coordenadas (0,1). Fíjate bien que los vectores son perpendiculares. Verás que las coordenadas de los vectores no pueden ser más sencillas. Esta es la base, modelo o regla en la que nosfundamentamos para trazar un vector cualquiera y la llamamos base canónica.
ESPACIO NULO DE A: RESOLUCIÓN DE AX = 0
Este tema versa sobre las soluciones espaciales de Ax = 0. La matriz A puede ser cuadrada o rectangular. Una solución inmediata es x = 0, la única posible para las matrices invertibles. Para el resto de las matrices, que no son invertibles, existen soluciones distintas decero para Ax = 0. Cada una de las soluciones de x pertenece al espacio nulo de A. Aquí se pretende hallar todas las soluciones e identificar este importantísimo subespacio..
El espacio nulo de A se compone de todas las soluciones de Ax = 0. Estos vectoresx pertenecen a Rn. El espacio nulo que contiene todas las soluciones de x se designa como N(A).
Compruebe que los vectores solución forman unsubespacio. Suponga que x e y pertenecen al espacio nulo (lo cual significa que Ax = 0 y Ay = 0). Según las reglas de multiplicación de matrices A(x + y) = 0 + 0. Asimismo, según las reglas A(cx) = c0. Los valores por la derecha siguen siendo cero. Por lo tanto, x + y y cx pertenecen también al espacio nulo N(A). Dado que podemos sumar y multiplicar sin abandonar el espacio nulo, se trata de unsubespacio.
Recapitulando: Los vectores solución x tienen n componentes. Están contenidos en Rn, con lo cual el espacio nulo en un subespacio de Rn. El espacio de columnas C(A) es un subespacio de Rm.
Si los valores a la derecha de b no son cero, las soluciones de Ax = b no forman un subespacio. El vector x = 0 es una solución únicamente si b = 0. Cuando el conjunto de soluciones no incluye a x = 0,no puede tratarse de un subespacio. veremos cómo las soluciones de Ax = b (si existe alguna) se desplazan con respecto al origen a causa de una única solución.
Ejemplo 1: La ecuación x + 2y +3z = 0 viene de la matriz de 1 por 3 A = [1 2 3]. Esta ecuación da lugar a un plano que atraviesa el origen. Este plano es un subespacio de R3. Es el espacio nulo de A. Las soluciones de x + 2y +3z = 6...
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