TRABAJO APRA PODER VER

Facultad de Ciencias F´
ısicas y Matem´ticas
a

Universidad de Chile

MA1002-5 C´lculo diferencial e integral
a
Profesor: Leonardo S´nchez
a
Auxiliar: Benjam´ Ruiz
ınAuxiliar 1 - Continuidad
08 de Agosto del 2014

Resumen:
Sea (xn ) una sucesi´n, y sea f : N → N creciente, decimos que la sucesi´n (xf (n) ) es una subsuo
o
cesi´n de la sucesi´n (xn).
o
o
(xn ) converge a l ssi toda subsucesi´n de (xf (n) ) converge a l.
o
Bolzano-Weierstrass: Toda sucesi´n acotada tiene al menos una subsucesi´n convergente.
o
o
Sea f : A ⊆R → R, decimos que f es continua en x0 ∈ A si l´ f (x) = f (x0 ), adem´s f es
ım
a
x→x0

continua si es continua en todo su dominio.
Caracterizaci´n ε − δ de la continuidad: f escontinua en x0 ssi (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈
o
Dom(f ), tal que |x − x0 | < δ) |f (x) − f (x0 )| < ε.
(P1) Sea (xn ) una sucesi´n tal que las subsucesiones (x2n ), (x2n+1 ) y (x3n ) sonconvergentes. Demuestre
o
que la sucesi´n (xn ) es convergente.
o
(P2) Sea f : R → R una funci´n continua y (an ) una sucesi´n en [a, b], no necesariamente convergente,
o
o
tal quel´ f (an ) = l. Demuestre que existe x0 ∈ [a, b] tal que f (x0 ) = l.
ım
n→∞

(P3) Usando la caracterizaci´n ε − δ muestre que:
o
(a) La funci´n f (x) =
o
(b) La funci´n f (x) =o

1
x

es continua en x0 = 1 .
2
x sen
0

1
x

si x = 0.
es continua en x0 = 0.
si x = 0.

(P4) Sea f : R → R una funci´n continua tal que ∀x, y ∈ R f (x + y) = f (x)+ f (y), entonces f (x) = ax,
o
para cierto a ∈ R.
(P5) Sea f : (0, ∞) → R una funci´n que satisface f (xy) = f (x) + f (y) ∀x, y ∈ (0, ∞). Demuestre que si
o
f es continua en x =1 entonces f es continua en todo su dominio.
(P6) Considere la funci´n f (x) =
o

2x2
x+a
− ex−a

2x
Determine a de modo que f sea continua.

si x > a.
si x ≤ a.

1