Trabajo Colaborativo 2 Algebra Lineal

1 Utilice el método de Gauss-Jordan, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:
1.1 -x-4 y-7 z= -4
7x-7 y-3 z= -7
9x+5 y∓6z= 5
-1-4-77-7-3956-4-75-F1→ 1477-7-39564-75-7F1+F2-9F1+F3→
Operaciones -7-28-497-7-3-28-70-35-52-35 -9-36-63956-3650-31-57-31
1470-35-520-31-574-35-31-135F2→ 1470152350-31-5741-3131F2+F3→
Operaciones0311612350-31-57 31-3100-33835-35
14701523500-3383541031F2+F3→ 147015235001410
Queda el sistema equivalente
1x+4 y+7 z= 4 (1)
0x+1y+5235 z= 1 (2)
0x+0 y+1z= 0 (3) de la ecuación (3) entonces z= 0
Se remplaza el valor de z=0 en la ecuación (2) y se tiene que
1y+5235 ∙0= 1
1y+0= 1 entonces y= 1
Se remplazan los valores de z=0 , y=1 enla ecuación (1) y se tiene que
1x+4∙ 1+7 ∙0= 4
1x+4+0=4
1x=4-4 entonces x= 0
RESPUESTA: x= 0 , y= 1 , z= 0
1.2 3x-7 y-z+4w= 1
5x- y-8 z-2w= -1
3-7 -145-1 -8-21-113F2→ 1-73 -13435-1 -8-213-1-5F1+F2→
Operaciones -5353 53-2035-1 -8-2-53-10323 -193-263-83
1 -73 -13 43 0323 -193-26313-83332F2→
1 -73-13 43 0 1 -1932-2632 13-832

Queda el sistema equivalente
1x-37 y-13 z+43w= 13 (1)
0x+1 y-1932 z-2632w= -832 (2)

Es un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas, así que tiene infinitas soluciones.
Se pueden dar parámetros a w=t y z=u en la ecuación (2) y se tiene que
0x+1 y-1932 u-2632t= -832
y= -14+1932u+1316t
Se remplazan w=t , z=u, y= -14+1932 u+1316t
este en la ecuación (1) y se tiene que
1x-37 (-14+1932 u+1316t)-13 u+43t= 13 (1)
1x+328-57224 u-39112t-13 u+43t= 13
x= 1984+395672 u-331336t
Es decir que cualquier solución se puede hallar así:
x= 1984+395672 u-331336t
y= -14+1932 u+1316t
z= u
w= t si se dan por ejemplo valores a z= t=0, para se obtiene x=1984 y para se obtiene y= -14 dando otros valores a z y w se obtienen otros para x y y.
RESPUESTA: Infinitas soluciones de la forma x= 1984+395672 u-331336t
y= -14+1932 u+1316t
z= u
w= t
2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa
2x-y-7 z= 2
3x-y-2 z= 3
-7x+2 y+z= -7
Lo que se busca es realizar la siguiente operación entre matricesX=A-1*B
2x-y-7 z= 2
3x-y-2 z= 3
-7x+2 y+z= -7

A=2-1-73-1-2-721 X=xyz B=23-7 , se halla
primero A-1.

Cof(A)=-(-1+4)-(3-14)(6-7)(-1+14)(2-49)-(4-7)(2-7)-(-4+21)(-2+3)
Cof(A)=-311-113-473-5-171
entonces la Adjunta de A se obtiene hallando la traspuesta de la matriz de cofactores de A
Adj(A)=3-13-511-47-17-131

Det(A)=2-1-73-1-2-721= 2-1-221--13-2-71-73-1-72=2-1+4+13-14-76-7=2∙3+-11-7-1=6-11+7=2

A-1=Adj(A)Det A=123-13-511-47-17-131=32-132-52112-472-172-123212

X=xyz=B=32-132-52112-472-172-12321223-7
=xyz=B=32∙2+-132∙3+-52∙(-7)112∙2+-472∙3+-172∙(-7)-12∙2+32∙3+12∙(-7)=3+ -392+ 35211+ -1412+ 1192-1+ 92+ (-7)2=1 0 0
RESPUESTA: xyz= 100 o x=1, y=0,z=0

3. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que:
3.1 Contiene a lospuntos P = (5,-7,9) y Q = (-1,5 - 3)
Se calcula primero el vector director D=5—1, -7-5, 9-(-3)
D=6, -12, 12
La ecuación de la recta está dada por

R=P+tD, para t cualquier número real
R=5,-7,9+t6, -12, 12 , para t cualquier número real
X=5,-7,9+t6, -12, 12 , para t cualquier número real
X=5+6t,-7-12t,9+12t , para t cualquier número real
x,y,z=5+6t ,-7-12t ,9+12t las ecuacionesparamétricas son
x=5+6t
y=-7-12t
z=9+12t despejando t de cada una de las ecuaciones paramétricas e igualando se obtienen las ecuaciones simétricas
x-56=t
y+7-12=t
z-912=t
x-56=y+7-12=z-912
RESPUESTA: x-56=y+7-12=z-912
x=5+6t
y=-7-12t
z=9+12t
Contiene P=(6,3,-7y es paralela a la recta x-97=y-10-8=z-83, al ser paralela tienen el mismo vector director, solo se...