Trabajo Colaborativo 2 Ecuaciones Diferenciales Unad

ECUACIONES DIFERENCIALES



UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERIA
CEAD COROZAL
2012

ECUACIONES DIFERENCIALES



TRABAJO COLABORATIVO 2

PRESENTADO A: HENRY BUITRAGO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERIA
CEAD COROZAL
2012

INTRODUCCION

El desarrollo del TrabajoColaborativo Nº 2 le permite al estudiante participante abarcar la temática correspondiente a la unidad tratada, con el desarrollo de las actividades, los ejercicios y demás investigación que este a su alcance.
La interacción que se establece en el foro, con cada uno de los aportes se traduce en la dinámica de la suma de intereses por aprender, desarrollar y aplicación los conceptos enambientes de la vida real.
Las Ecuaciones Diferenciales constituyen uno de los más poderosos instrumentos teóricos para la interpretación y modelación de fenómenos científicos y técnicos de la mayor variedad, a saber, aquellos que contienen dinámicas, que expresan evolución, transformación o cambio en términos de algún conjunto de parámetros. Son, por eso, de especial importancia práctica y teóricapara los Ingenieros de cualquier rama.
La construcción de modelos matemáticos para tratar los problemas del mundo real se ha destacado como uno de los aspectos más importantes en el desarrollo teórico de cada una de las ramas de la ciencia. Con frecuencia estos modelos implican una ecuación en la que una función y sus derivadas desempeñan papeles decisivos. Tales ecuaciones son llamadas EcuacionesDiferenciales.

OBJETIVOS

* Solucionar ecuaciones diferenciales de segundo orden y de orden superior con la aplicación de los diferentes métodos teniendo en cuenta el libro de Dennis G. Zill y el modulo general de ecuaciones diferenciales.

* Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias sus aplicaciones en matemáticas, en física y en ingeniería. Así como hacer énfasis en elplanteamiento de las ecuaciones e interpretación de sus soluciones.

* Obtener una herramienta fundamental que le permitirá al estudiante, abordar problemas concretos relacionados con otras ciencias.

* Reconocer y aplicar las técnicas fundamentales para la solución de ecuaciones diferenciales.

DESARROLLO DE ACTIVIDADES

1. Resuelva el problema de valor inicial

2x2y’’ + 3xy’ – y = 0;si y(1) = 2 y’(1) = 1

y=mx
y,=mxm-1
y,,=m2-mxm-2
Remplazamos:
2x2m2-mxm-2+3xmxm-1-xm=0
2x2m2xm-2-2x2mxm-2+3x mxm-1-xm=0
2m2xm-2mxm+3mxm-xm=0
xm2m2-2m+3m-1=0
2m2+1m+1=0
m1=-b±b2-4ac2a
m1=-1+1-84
m1=-1+94
m1=24
m1=12
m2=-b-b2-4ac2a
m2=-1-1+84
m2=-1-94
m2=-44
m2= -1
y=C1e12x+C2e-x
y(1) = 2 ; y’(1) = 1
Remplazamos la primera ecuación:
2=C1e12(1)+C2e-1
2=e C1+C2eRemplazamos la segunda ecuación:
y,=c1e12x2-C2e
1=c1e122-C2e

Resolvemos por el sistema 2x2
Igualamos C2e en ambas ecuaciones y obtenemos

C1=2e ∧ C2=0
y= 2e e12x
Todo número multiplicado por 0 es igual a 0

2. Determine el wronskiano de los siguientes pares de funciones:

A. Y1=1 e Y2= log x

B. Y1= eax e Y2= x eax

C. Y1=e-x e Y2= e2xSolución

A. Y1=1 e Y2= log x

w(1, logx)= 1logX01xln10= 1xln10-0
W≠0 Linealmente Independente

B. Y1= eax e Y2= x eax

w eax, xeax=eaxxeaxaeaxeax+axeax
=eaxeax+axeax-xeax aeax
=e2ax+axe2ax-axe2ax
= e2ax ≠0
w = Linealmente Independiente

C. Y1=e-x e Y2= e2x
w=e-x, e2x=e-xe2x-e-x2e2x=e-x. 2e2x-e2x. (-e-x)
=2ex+ ex
=3ex≠0
W = Linealmente Independiente
3. Resolverlas siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes constantes.
4y^''-8y^'+7y=0
Ecuación característica:
〖4m〗^2-8m+7=0
m=(-b±√(b^2-4ac))/2a
m=(8±√(64-112))/8
m=(8±√(-48))/8
m=(8±j√48)/8
m_1=(8-j√48)/8 m_2=(8+j√48)/8
(m-1+(j√3)/2)(m-1-(j√3)/2)=0
y=C_1 e^αx cos(βx)+C_2 e^αx sen(βx)
y=C_1 e^x cos(√3/2 x)+C_2 e^x sen(√3/2 x)
y^''+2y^'+3y=0
Ecuación característica:...