TRABAJO colaborativo FASE1 ecuaciones diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES
FASE I- UNIDAD 1

PRESENTADO POR:
YAMILE SERRANO ARO CÓDIGO: 37544661
OSCAR MAURICIO MELO CÓDIGO 80.452.627
MARTHA LILIANA IDROBO CÓDIGO 1061748588
DIEGO FERNANDO MUÑOZ ARANA CÓDIGO: 72.226.591
GRUPO: 100412_4

TUTOR: MARCELA ALEJANDRA PRADO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGIAS E INGENIERIAS
MAYO

INTRODUCCION

Uno delos objetos de este trabajo es aplicar el ABP (Estrategia de aprendizaje basada en problemas)
que es una metodología centrada en el aprendizaje, en la investigación y reflexión que siguen los alumnos
para llegar a una solución ante un problema planteado por el profesor. Generalmente, dentro del proceso
educativo, el docente explica una parte de la materia y, seguidamente, propone a los alumnos unaactividad de aplicación de dichos contenidos. Sin embargo, el ABP se plantea como medio para que los
estudiantes adquieran esos conocimientos y los apliquen para solucionar un problema real o ficticio, sin
que el docente utilice la lección magistral u otro método para transmitir ese temario.
El ABP favorece el desarrollo de habilidades en cuanto a la búsqueda y manejo de información y ademásdesarrolla las habilidades de investigación ya que, los alumnos en el proceso de aprendizaje, tendrán que,
a partir de un enunciado, averiguar y comprender qué es lo que pasa y lograr una solución adecuada.
La temática a tratar dentro de este trabajo es la introducción a las ecuaciones diferenciales; una ecuación
diferencial es una ecuación que contiene la derivada de una o más variables dependientescon respecto a
una o más variables independientes.

Escoger del listado de ejercicios propuesto un ejercicio de cada temática y desarrollarlo de forma
individual.

1. Temática: introducción a las ecuaciones diferenciales
Establezca si la ecuación diferencial es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuación:
A.

𝑑𝑦
𝑑𝑥

+ 𝑠𝑒𝑛 (𝑦) = 0.

 Es una Ecuación Diferencial Ordinaria E.D.O
 1°orden
 1° grado
 No es lineal porque la función seno es función de (y).

B. 𝑦 ′′ + 𝑦′ + 𝑦 = 0

 Es una Ecuación Diferencial Ordinaria E.D.O

Segundo orden, lineal.

C.

𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2

+

𝑑𝑦
𝑑𝑥

− 5𝑦 = 𝑒 𝑥

Segundo orden, lineal.

D (2𝑦 + 1)𝑑𝑥 + (𝑦 2 𝑥 − 𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 Primer orden,
No lineal debido al termino cuadrático

E. 𝑥𝑦 ′ − 𝑦 = 𝑥 2

Primer orden, lineal.

F. Muestre que y = 1/x es una solución dela ecuación diferencial

y 1
 dy 
2

 y   2 0
x x
 dx 
Para comprobar, simplemente reemplazamos los términos de la ecuación por concepto de x:
𝑦=

1
𝑥

𝑑𝑦 −1
=
𝑑𝑥 𝑥 2

Reemplazando, tenemos:

1
2

1
1
   
x 1
 2  2    2  0
x x
x  x 
Tenemos que:



1
1
1
1
 2  2  2 0
2
x
x
x
x

2. Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden
Realizado por Yamile Serrano AroA. Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables separables:

𝑑𝑦 −2𝑥
=
𝑑𝑥
𝑦

{𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐸. 𝐷. 𝑂; 1°𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛; 1°𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜; 𝐸𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙}

𝑦 ∗ 𝑑𝑦 = (−2𝑥) ∗ 𝑑𝑥

{𝑆𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠}

∫ 𝑦 ∗ 𝑑𝑦 = ∫(−2𝑥) ∗ 𝑑𝑥 {𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙}
𝑦2
−2𝑥 2
=
+𝐶
2
2

{𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠}

𝑦2
= −𝑥 2 + 𝐶
2

{𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜}

𝑦 2 = 2(−𝑥 2 ) + 𝐶

{𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦}

√𝑦 2 = −√2𝑥 2 + 𝐶

{𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟𝑎𝑖𝑧𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠}

𝒚 = −√𝟐𝒙𝟐 + 𝑪

{𝐸𝑐𝑢𝑎𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎}

B. Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es, resuélvala.

2𝑥𝑦

𝑑𝑦
+ 𝑦 2 − 2𝑥 = 0
𝑑𝑥

Multiplicando por dx.
2𝑥𝑦𝑑𝑦 + (𝑦 2 − 2𝑥)𝑑𝑥 = 0

𝜕𝑀
= 2𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑁
= 2𝑦
𝜕𝑥
Luego es una ecuación exacta.
𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫(𝑦 2 − 2𝑥)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦)

𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 2 − 𝑥 2 + 𝑔(𝑦)
𝜕𝐹(𝑥, 𝑦)
= 2𝑥𝑦 + 𝑔´(𝑦)
𝜕𝑦
2𝑥𝑦 + 𝑔´(𝑦) = 2𝑥𝑦 + 0
𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 2 − 𝑥 2

C. Resolver lasiguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante:

(3𝑥𝑦 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 + (𝑥 2 + 𝑦𝑥)𝑑𝑦 = 0
𝜕𝑀
= 3𝑥 + 2𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑁
= 2𝑥 + 𝑦
𝜕𝑥
Luego NO es exacta.
Dividimos en ambos lados por xy
(3𝑥𝑦 + 𝑦 2 )
(𝑥 2 + 𝑦𝑥)
𝑑𝑥 +
𝑑𝑦 = 0
𝑥𝑦
𝑥𝑦
Simplificando, tenemos:
𝑦
𝑥
(3 + ) 𝑑𝑥 + ( + 1) 𝑑𝑦 = 0
𝑥
𝑦

Despejamos para dy/dx
𝑦
𝑑𝑦 − (3 + 𝑥 )
= 𝑥
𝑑𝑥
( + 1)
𝑦
Hacemos la sustitución u=y/x
𝑑𝑦
= 𝑔(𝑢)
𝑑𝑥
𝑦 = 𝑢𝑥...