Trabajo_Colaborativo_Momento4

Trabajo Colaborativo Momento 4

Carlos Mario Benavides Bernal
Estudiante

Grupo: 301301_588

José Alberto Escobar Cedano
Director de curso

Universidad Nacional Abierta y a Distancia –UNAD
Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica
Octubre/2015

INTRODUCCION

Desarrollar la guía de actividades de manera pertinente y acertada usando los
contenidos aprendidos en la segunda unidad, utilizandofuentes a nuestro alcance
como el trabajo en equipo, de esta manera comprender e interiorizar en cada uno
de los ejercicios de la primera unidad del Álgebra, Trigonometría y Geometría
Analítica, para poderlos aplicar en diferentes escenarios del saber, utilizando las
teorías y definiciones que soportan en el curso académico. Además de trabajar en
grupo colaborativo para socializar y compartirconocimientos.

4𝑥 2 +4

1. Determine el dominio de la función 𝑓(𝑥 ) = 2𝑥2 +8

Como es una función racional, el denominador no puede ser 0, es decir 2𝑥 2 + 8 ≠ 0
Despejando 𝑥 2 se tiene 𝑥 2 ≠

−8
2

𝑥 2 ≠ −4
𝑥 ≠ √−4
𝑥 ≠ √−1√4
𝑥 ≠ ±2𝑖
Es decir que esta expresión no tiene raíces reales por lo tanto no existen valores
que anulen el denominador, entonces el dominio está representado por los números
reales:𝑑𝑜𝑚 = 𝐼𝑅

𝑥−1

2. Determine el rango de la función 𝑓 (𝑥 ) = 2𝑥+3

𝑦=

𝑥−1
2𝑥 + 3

El rango se obtiene igualando “y” a 0 en la función:

𝑦(2𝑥 + 3) = 𝑥 − 1 aplicando la propiedad distributiva se tiene:
2𝑥𝑦 + 3𝑦 = 𝑥 − 1 pasando x al miembro izquierdo:
2𝑥𝑦 − 𝑥 = −1 − 3𝑦 sacando factor común:
𝑥 (2𝑦 − 1) = −1 − 3𝑦 sacando factor común:
𝑥=

−1−3𝑦
2𝑦−1

como es función racional, el denominador debe serdiferente de cero:
2𝑦 − 1 ≠ 0
𝑦≠

1
2

Por lo tanto el rango son todos los reales menos

1
2

1

𝑅 − { 2}

3. Dada las funciones 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 + 𝑥 − 6 ; 𝑔(𝑥 ) = 𝑥 − 2 Determine
a) (𝑓 + 𝑔)(𝑥)
b) (𝑓 − 𝑔)(𝑥) c) (𝑔 − 𝑓)(𝑥) d)¿Cuándo (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = (𝑔 − 𝑓)(𝑥)

a) (𝑓 + 𝑔)(𝑥)
𝑓 (𝑥 ) + 𝑔(𝑥)
(𝑥 2 + 𝑥 − 6) + (𝑥 − 2)
𝑥2 + 𝑥 − 6 + 𝑥 − 2
𝑥 2 + 2𝑥 − 8

b) (𝑓 − 𝑔)(𝑥)
𝑓 (𝑥 ) − 𝑔(𝑥)
(𝑥 2 + 𝑥 − 6) + (𝑥 − 2)
𝑥2 + 𝑥 − 6 − 𝑥+ 2
𝑥2 − 4

c) (𝑔 − 𝑓)(𝑥)
𝑔(𝑥 ) − 𝑓(𝑥)
(𝑥 − 2) − (𝑥 2 + 𝑥 − 6)
𝑥 − 2 − 𝑥2 − 𝑥 + 6
−𝑥 2 + 4

d) Cuando (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = (𝑔 − 𝑓)(𝑥)
Como (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑥 2 − 4

y (𝑔 − 𝑓)(𝑥) = −𝑥 2 + 4

Entonces 𝑥 2 − 4 = −𝑥 2 + 4 = 𝑥 2 + 𝑥 2 = 4 + 4
2𝑥 2 = 8
𝑥2 =

8
2

𝑥2 = 4

𝑥 = ±√4
𝑥1 = 2
𝑥2 = −2
Es decir son iguales cuando 𝑥 = 2 o

𝑥 = −2

4. Dadas las funciones 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 + 4; 𝑔(𝑥 ) = √𝑥 − 3 Determine

a) (𝑓 𝑜𝑔)(𝑥)
𝑓(𝑔(𝑥) ) = (√𝑥 − 3)2 + 4
𝑓(𝑔(𝑥) ) = 𝑥 − 3 + 4
𝑓(𝑔(𝑥) ) = 𝑥 + 1

b) (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥)
𝑔(𝑓(𝑥) ) = (√(𝑥 2 + 4) − 3
𝑔(𝑓(𝑥) ) = √𝑥 2 + 4 − 3
𝑔(𝑓(𝑥) ) = √𝑥 2 + 1

c) (𝑓 𝑜 𝑔)(2)
Como (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 1
(𝑓 𝑜 𝑔)(2) = 2 + 1
(𝑓 𝑜 𝑔)(2) = 3

d) (𝑔 𝑜 𝑓 )(2)
Como (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) = √𝑥 2 + 1
(𝑔 𝑜 𝑓)(2) = √(2)2 + 1
(𝑔 𝑜 𝑓)(2) = √4 + 1

(𝑔 𝑜 𝑓)(2) = √5
(𝑔 𝑜 𝑓)(2) = 2,236

5. Verifique la siguiente identidad trigonométricacos 𝑥
1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
=
1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥

Haciendo producto de extremos igual al producto de los medios:
cos 𝑥. cos 𝑥 = (1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 )(1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥)
Efectuando productos se tiene:
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥, cancelando 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
De la identidad pitagórica 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1, se tiene que
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 entonces
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥0

6. Demuestre la siguiente identidad, usando lasdefiniciones de las diversas
hiperbólicas fundamentales:
𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 (𝑐𝑜𝑡ℎ2 𝑥 − 1) = 1
𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥

𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥

Como 𝑐𝑜𝑡ℎ2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥

se tiene 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 (𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 − 1) = 1
𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥.𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥

Multiplicando se tiene:(

𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥

− 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥) = 1

Simplificando se tiene: 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 = 1
Como 𝑐𝑜𝑠ℎ2 𝑥 =

𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥

𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 2
)
2

Se tiene: (

2

y 𝑠𝑒𝑛ℎ2 𝑥 =

𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 2
)
2

−(

𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
2

=1

𝑒 2𝑥 + 2𝑒 𝑥 𝑒−𝑥 + 𝑒 −2𝑥 𝑒 2𝑥 − 2𝑒 𝑥 𝑒 −𝑥 + 𝑒 −2𝑥
−
=1
4
4
2𝑒 𝑥 𝑒 −𝑥 −2𝑒 𝑥 𝑒 −𝑥
−
=1
4
4

2 2
+ =1
4 4
4
=1
4
1=1

7. Dos edificios están ubicados en el mismo plano horizontal y separados por
una calle de 30 metros de ancho. Una persona ubicada en la azotea del
edifico más alto observa una persona ubicada en la azotea del edifico más
bajo con un ángulo de depresión de 50°. Si el edificio más bajo mide...