Trabajo de algebra

Introducción

En este trabajo se hablara acerca de espacio vectorial donde es un conjunto no vacio en el que está definida la ley de descomposición interna denominada suma, se habla también de las condiciones vectoriales, de las propiedades elementales, de las sub-estaciones, de los teoremas.

Definición de espacio vectorial.

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V en el que estándefinidas una ley de composición interna denominada suma, que a cada par de elementos u, v de V asocia un elemento w de V denotado w = u+v, y una ley de composición externa denominada producto por escalares, que a cada numero α ∈ K (K = R| ´o C| ) y a cada elemento u de V asigna un elemento v = αu, que verifican las siguientes condiciones:
1. Conmutatividad: u + v = v + u, ∀u, v ∈ V ;
2.Asociatividad: u + (v + w) = (u + v) + w, ∀u, v,w ∈ V ;
3. existe elemento neutro, 0V ∈ V , tal que u + 0V = u, ∀u ∈ V ;
4. para cada u ∈ V existe un opuesto, denotado −u, tal que u + (−u) = 0V ;
5. Distributividad respecto de los escalares: (α + β)u = αu + βu, ∀α, β ∈ K y ∀u ∈ V ;
6. Distributividad respecto de los vectores: α(u + v) = αu + αv, ∀α ∈ K y u, v ∈ V ;
7. Asociatividad respecto de losescalares: α(βu) = (αβ)u, ∀α, β ∈ V y ∀u ∈ V ;
8. 1u = u, ∀u ∈ V .

A los elementos del espacio vectorial V se los suele denominar vectores, mientras que a los
Números por los cuales se multiplican esos vectores se los denomina escalares. Cuando el conjunto de escalares es el conjunto de números reales, es decir, K = R| , se dice que V es un espacio vectorial real, mientras que si K = C| se diceque V es un espacio vectorial complejo.
En lo sucesivo trabajaremos tanto con espacios vectoriales reales como complejos, y, a menudo, emplearemos la terminología V es un R| -espacio vectorial o V es un espacio vectorial sobre los reales para indicar que V es un espacio vectorial real; similarmente diremos que V es un
C| -espacio vectorial o un espacio vectorial sobre los complejos para indicarque V es un espacio vectorial complejo. Cuando no se requiera alguna propiedad especial del conjunto de escalares, diremos simplemente que V es un espacio vectorial. De aquí en adelante, en general designaremos
A los vectores con letras latinas minúsculas, u, v, . . ., a los escalares con letras griegas minúsculas, α, β, . . ., y, cuando no haya peligro de confusión, al vector nulo de V por 0 enlugar de 0V .

ESPACIOS VECTORIALES: un conjunto de vectores de orden n definidos sobre un cuerpo F que es cerrado respecto de la suma y de la multiplicación por un escalar se llama espacio vectorial.

Por ejemplo, si X1, X2,………Xm son vectores de orden n definidos sobre un cuerpo F , el conjunto formado por todas las combinaciones lineales.

K1 X1 + K2 X2 +………….. Km Xm( ki pertenece a F)

Es un espacio vectorial sobre F. Todo espacio vectorial contine al vector nulo de orden n; el vector nulo de orden n constituye de por si un vectorial. (El espacio se llama también espacio vectorial lineal.)

El conjunto de todos los vectores Vn (F) de orden n definidos sobre un cuerpo F se denomina espacio vectorial de n dimensiones sobre F.Propiedades elementales.

A partir de los axiomas de espacio vectorial se deducen las siguientes propiedades básicas:
1. el elemento neutro 0 ∈ V es único; también es único el opuesto de un elemento u;
2. 0u = 0 ∀u ∈ V y α0 = 0 para todo escalar α;
3. si αu = 0 entonces α = 0 ´o u = 0;
4. si u _= 0, αu = βu ⇒ α = β; si α _= 0, αu = αv ⇒ u = v;
5. (−1) u = −u ∀u ∈ V .
A continuación presentamosa modo de ejemplo algunos de los espacios vectoriales reales o complejos que aparecen con mayor frecuencia en las aplicaciones.

Subespacio vectoriales

Algunos de los espacios vectoriales que hemos dado como ejemplo están relacionados entre sí.
Por ejemplo, C(I) es subconjunto de R| I y P puede pensarse como subconjunto C(R| ), ya que cada polinomio define una función continua en R| . Más...