Trabajo De Cálculo

1. Recortando en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm por 50 cm un cuadrado de lado x, y doblando convenientemente, se construye una caja rectangular.
Calcular el valor de xpara que el volumen de la caja sea máximo.

80 - 2x
50 - 2x

V(x) = (x)(80 - 2x)(50 - 2x)
V(x) = 4x³ - 260x² + 4000x
V'(x) = 12² - 520x + 4000
0 = 12² - 520x + 4000
x² - 130x/3 = -1000/3
x² -130x/3 + (65/3)² = -1000/3 + 4225/9
(x - 65/3)² = 1225/9
x - 65/3 = √(1225/9)
x = 65/3 ± 35/3

x = 100/3
x = 10
V''(x) = 24x – 520

V''(10) = 240 - 520 = -280

Valor de X para volumenmáximo:
X=10

2. Se quiere formar una lata cilíndrica, con tapa, que contenga un litro de capacidad. Calcular las dimensiones del radio y la altura de la lata, de manera tal que el materialutilizado en su construcción sea mínimo.

V(r,h) =PI·(r^2)·h (r = radio / h = altura)
Area(r,h) = 2·PI·r·h + 2·PI·r^2 = 2·PI·r(r+h)

1 litro = 1000 cm^3
1000 = PI(r^2)h
h = 1000 / [PI(r^2)]Area(r) = 2·PI·r(r+1000/[PI(r^2)])
Area(r) = 2·PI·r([PI·(r^3)+1000] / [PI(r^2)])
Area(r) = 2([PI·(r^3)+1000] / r)
Area(r) = 2PI(r^2) + 2000/r
Area'(r) = 4PI·r - 2000/(r^2) = 0
PI·r - 500/(r^2) = 0PI·r^3 - 500 = 0

r = (500/PI)^(1/3) =
r = (159,15494)^(1/3)
r = 5,4192607 cm

Área''(r) = 4PI + 2000(2r)/(r^4) = 4PI+ 4000/(r^3)

h = 1000 / [PI(r^2)]
h = 1000 / [PI(5,4192607^2)]
h =1000/(PI· 29,368387)
h = 1000/ 92,263507
h = 10,8385521 cm

El radio y la altura a utilizar para que el material sea el mínimo, es:

radio = 5,4192607 cm

altura = 10,8385521 cm

3. Con unacuerda de 100 metros de largo se construye un rectángulo. Determinar sus dimensiones de manera tal que el área encerrada sea máxima.

Largo = 100 mts.
X = ancho
Y = largo
Área = x·y

A(x,y) =x·y

2x + 2y = 100
2x = 100 – 2y /2
X = 50 – y

A(y) = (50-y) ·y
A(y) = 50y - y ^2

A(y) = 50 – 2y /=0
2y = 50
Y =25

X = 50 – y
X = 50 – 25
X =25

El área se maximiza cuando:...