Trabajo de calcinacion

Inacap Sede Calama
Ingeniería En Minas
Álgebra Lineal.

Teorema Del Seno

Profesor : Javier Chocano
Nombres :




Curso : 152 IEM
Fecha : 22 de marzo de 2012

a) Introducción.-

El Teorema del seno, se utiliza para calcular valores desconocidos, relativos a triángulos que no contienen ángulos rectos, a través de una serie de valores que ya se conocen y queestán presentes en el triángulo o algún problema previamente planteado.

Las funciones trigonométricas se aplican ángulos rectos, pero se pueden establecer una relación, entre la medida de los lados de un triángulo y la medida de sus ángulos cuando éstos “no son triángulos rectángulos” de modo que, siempre existirán 2 casos particulares de triángulos, a los cuales si cumplen ciertascondiciones se puede aplicar el teorema del seno y resolver sin inconvenientes, estos triángulos son:
1. Triángulos que poseen un ángulo obtuso y dos agudos (Obtusángulo).
2. Triángulos que poseen todos sus ángulos agudos (Acutángulo).

Denominados también como triángulos oblicuángulos.

A continuación se definirá dicho teorema, se comprobará y aplicará a ejercicios relacionados a materias detrigonometría.

b) Desarrollo.-

1. Teorema del seno.

El teorema del seno, consiste en el siguiente enunciado:
“En un triángulo cada lado es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto”.

2. Demostración.

* Se tiene un triángulo oblicuángulo ABC, al cual se proyecta la altura desde el vértice C sobre segmento c, a la que llamaremos altura hc. Se tendrá dostriángulos rectángulos: Triángulo ACD y Triángulo BCD.

* A los triángulos previamente formados se les procederá a despejar la altura hc aplicando las funciones trigonométricas para triángulos rectángulos.

*FIGURA 1: Triángulo Oblicuángulo ABC

* Despejando la altura de los triángulos ACD y BCD, respectivamente, tendremos:

* Sen α = hc / b hc = b · Sen α

* Sen β = hc/ a hc = a · Sen β

* Como en ambos casos despejamos las altura, la cual viene siendo un cateto común para ambos se tiene que:

* b · Sen α = a · Sen β

* (Sen α)/a = (Sen β) /b

* El despeje anteriormente dado corresponde a una proporción entre los senos de α y β y las respectivas medidas de sus lados opuestos, si hiciéramos el mismo análisis a cada uno de sus lados yrespectivos senos obtendríamos la misma conclusión, por lo que se puede construir la altura desde el vértice B, obtendremos:

3. Aplicaciones.

Se puede aplicar el teorema del seno en cualquier triángulo oblicuángulo, siempre que cumpla con cualquiera de las siguientes condiciones:

* Caso 1: Dado 2 ángulos y el lado opuesto a uno de ellos.
Lo primero que se debe hacer, es buscar el ladoopuesto del segundo ángulo dado

* Caso 2: Dado 2 ángulos y el lado entre ellos.
Se encuentra el 3er ángulo, después cualquiera de los lados restantes

* Caso 3: Dado 2 lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Se debe encontrar el ángulo opuesto al segundo lado dado.

4. Ejercicios.

1. Conocidos, c=200m. α= 40° γ=120°. Calcular los elementos restantes del triángulo.*SOLUCIÓN:
- Paso 1: Se encuentra el valor de β: 180° – (120° + 40°)= 20°

- Paso 2: Utilizando la fórmula del teorema del seno calcular los lados restantes, ya conocidos los ángulos. Se reemplaza y despeja el lado que se desee encontrar en este caso lado a y posteriormente el lado b
* Para Calcular el lado a:

* Para calcular el lado b:

2. Sea un triángulo ABC Con α =45°, AB = 30cm y BC = 40cm, encontrar β:

*SOLUCIÓN:
- Paso 1: Se utiliza el teorema del seno, como solo se pide el ángulo β, solo basta con despejar γ, luego restar 180° – (α + γ)


- Paso 2: Conocidos los ángulos restantes, β = 180° – (45° + 32°) = 103°

3. Resolver el triángulo ABC, con los siguientes datos:

α = 54°; β= 65°, a=125 unidades.

* SOLUCIÓN:
- Paso 1: Se...