Trabajo De Calculo

Trabajo de cálculo II

Universidad de córdoba



Ingeniería de sistemas
Segundo semestre
Año
2012
Montería – córdoba
Tabla de contenido
pág.
Área entre dos curvas…………………………………………………………3
Áreas de regiones simples- y………………………………………………7
Áreas en coordenadas polares……………………………………………12Solidos de revolución……………………………………………………………………….16
Métodos de los discos para el cálculo de los volúmenes………………….17
Método del cilindro para el cálculo del volumen……………………………..19
Método de las secciones de área conocida……………………………………..21
Área de una superficie de revolución………………………………………………22
Longitud de arco……………………………………………………………………………..26Aplicaciones de la integral definida
Área entre dos curvas
Ya se ha visto que si f(x) es positiva en [a, b] entonces.
abf(x)dx
Representa el área de la región limitada por f(x) sobre [a, b].
Suponga que se tiene una región limitada por las curvas y=f(x) e y=g(x) donde f(x) y g(x) son funciones continuas en [a, b] con f(x) ≥ g(x) para cada x en [a, b] como lo muestra la figura.

Paracalcular su área se considera por separado las áreas limitadas por y=f(x) e y=g(x). Se tiene que el área limitada por f(x) y g(x) en el intervalo [a, b] es
Área=ab[fx-g(x)]dx
Si las curvas que limitan la región son funciones de y, digamos x=f(y), x=g(y) definidas en [c, d] con f(y) ≥ g(y) entonces el área de la región viene dada por

Área=cd[fy-g(y)]dy
Ejemplo1: Calcular el valor delarea de la region limitada por:y=x+4y=x2-2
Solucion.
Paso1: Graficamos en un mismo plano y=x+4, y y=x2-2
Paso2: Identificamos la region plana, sombreandola y hallando las intercepciones de las curvas.
Paso3: Definimos el elemento diferencial.

x+4 = x2-2
x2-x-6=0
x-3x+2=0
x=3 ˅ x=-2
Paso4: la integral definida para el area seria:
A=-23[x+4-(x2-2)]dx
Paso5: Evaluamosla integral definida que tenemos:
A=-23[x+4-(x2-2)]dx =-23-x2+x+6dx
=-x33+x22+6x|-23

=-333+322+6(3)---233+-2226(-2)

= -9+92+18-83+2-12A= 56

Ejemplo2: calcular el valor del area de la region limitada por y=x3-x2-6xy=0
Solucion:
Paso1: Dibujamos y=x3-x2-6x
Paso2: Identifamos la region plana, sombreandola y hallando las intercepciones de la curva con el eje x:
Paso3: Definimos el elemento diferencial:

x3-x2-6x=0
xx2-x-6=0
xx-3x+2=0
x=0 ˅ x=3 ˅ x=-2Paso4: La integral definida para el area seria:
A=-20x3-x2-6xdx+03[0-x3-x2-6x]dx
Paso5: Evaluando la integral definida tenemos:

A=-20x3-x2-6x-0dx+03[o-(x3-x2-6x)]dx
=-20x3-x2-6xdx+03[-x3+x2+6x]dx
=-20x44-x33-6x22|-20+-x44+x33+6x22|03
=0-(-2)44-(-2)33-6(-2)22+-(3)44+(3)33+6(3)22-(0)
=-4-83+12-814+9+27
A= 25312

Ejemplo3: halle el area de la region R limitada porlas graficas de las ecuaciones y=x ; y=-x+2

Solucion: la representacion grafica es la siguiente es:



Area:-212-y-y2dy = 012xdx+ 14-x+2+xdx = 92
Area de regiones simples- y
Si una region plana tubiese la siguiente forma:

Es más conveniente tomar el elemento diferencial representativo en disposición horizontal

El área del elemento diferencial será:dA=hdy=xdy=fydyEntonces el área de la región plana es:A=cdfydy
Y para el caso de regiones simple-y más general, tenemos:

El área del elemento diferencial será: dA=hdy=fy-gydy
Entonces el área de la región plana está dada por:
A=cdfy-gydy

Ejemplo1: Calcular el área de la región limitada por:y=xy=-x+6y=0
Solución:
Paso1: Se dibuja en un mismo plano: y=x y y=-x+6
Paso2: Identificamos la...