Trabajo De Calculo

UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA
FACULTAD DE INGENIERIAS
CALCULO I
TAREA
TERCER CORTE




MARIA CAMILA SOTO MUÑOZ



LEONARDO CARVAJAL FERNANDEZ



JUNIO 13
2015




SAHAGÚN – CÓRDOBA
COLOMBIA



PUNTOS CRITICOS
Por punto crítico se entiende: un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a o b del dominio [a, b] de definición de la función. El valor de la función en el puntocrítico es un valor crítico.
O dicho de otra forma:
Sea f: U ⊂ R n → R. Un punto (x1, x2, . . . , xn) perteneciente al dominio de f es un punto crítico o punto estacionario de f si todas las derivadas parciales primeras se anulan en dicho punto, o si al menos una de estas derivadas no existe en el punto.
Definición para funciones de una sola variable
Un punto crítico de una función de una solavariable real, ƒ(x), es un valor x0 dentro del dominio de ƒ donde la función no es diferenciable, o bien, su derivada es 0, ƒ′(x0) = 0. Cualquier valor en el codominio de ƒ que sea la imagen de un punto crítico bajo ƒ es un valor crítico de ƒ. Estos conceptos pueden ser visualizados por medio de la gráfica de ƒ: en un punto crítico, la gráfica no admite una tangente, o bien, la tangente es una líneavertical u horizontal. En el último caso, la derivada es cero y el punto es llamado un punto estacionario de la función.
Calculemos los puntos críticos:
La derivada es |f(x)|'=ex si x>0 y |f(x)|'=-ex si x<0. Como las derivadas laterales en x=0 son, por la izquierda -1 y por la derecha 1 y no coinciden la función no es derivable en x=0 y constituye un punto crítico cuyo valor es |f(0)|=|e0-1|=0Veamos si hay singularidades:
Para x<0, |f(x)|'=-ex es siempre negativa y no hay singularidades (función estrictamente decreciente.
Para x>0, |f(x)|'=ex es siempre positiva y no hay singularidades (función estrictamente creciente).
Resta evaluar la función en los extremos del intervalo:
Para x=-1: |f(-1)|=-e-1+1=-1/e+1=0.6321
Para x=+1: |f(+1)|=e+1-1=e-1=1.7182
Conclusión: los puntos críticos sonx=0, x=-1 y x=1 y los extremos de la función se alcanzan en x=-1 Mínimo y x=+1 Máximo
La manera de clasificar puntos críticos para una función F(x) de una variable:
Se determinan primero todos los valores de x para los que F 0 (x) se anula o no existe; estos valores de la variable son los únicos candidatos a dar extremos de la función. En el caso de los puntos críticos para los cuales laderivada primera existe y es nula [esto es, cuando la función es derivable en x = xc con F 0 (xc) = 0]

una técnica que se puede utilizar es el criterio de la derivada primera que consiste en analizar, en el entorno de cada valor crítico (esto es, para x cercanos a xc), el signo de F 0 y por lo tanto el crecimiento o decrecimiento de F, que indicará si el punto crítico corresponde a un extremo (máximoo mínimo) local, o a un punto de inflexión de F.
Una alternativa es utilizar el criterio de la derivada segunda que consiste en analizar, en el punto crítico mismo (esto es, para x = xc), el signo de F 00: Si F 00(xc) > 0, entonces xc es un mínimo local de F.
Ejemplo:
F(x) = x 2 tiene un mínimo en xc = 0. Si F 00(xc) < 0, entonces xc es un máximo local de F.
Ejemplo:
F(x) = seno x tiene unmáximo en xc = π 2 . Si F 00(xc) = 0, este criterio no decide.

Ejemplo:
F(x) = x 3 y G(x) = x 4 tienen un punto crítico en xc = 0, con derivada primera y segunda nulas en dicho punto; pero en un caso es un punto de inflexión, en el otro un extremo. Para justificar este criterio, podemos apelar a la aproximación de la función F(x) alrededor de xc mediante polinomios de Taylor.
Suponiendo que F(x)es dos veces derivable en xc, a segundo orden se tiene: F(x) ≈ P2(x) = F(xc) + 0 + 1 2 F 00(xc) (x − xc) 2 para x próximo a xc pues el término lineal F 0 (xc) (x − xc) se anula. Si lo visualizamos gráficamente la expresión de la derecha corresponde, en el caso en que el coeficiente del término cuadrático sea distinto de 0, a una parábola con ramas hacia arriba o hacia abajo dependiendo del signo...