Trabajo de derivadas

Introducción
En cálculo (rama de las matemáticas), la derivada representa cómo una función cambia -valor de la variable dependiente- a medida que su entrada -valor de la variable independiente- cambia. En otras palabras, una derivada puede ser vista como “cuánto está cambiando el valor de una función en un punto dado” (por ejemplo, variación de velocidad). Es decir, la derivada de la posición deun vehículo con respecto al tiempo es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.
La derivada de una función en un valor de entrada dado que describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en la gráfica de lafunción en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función.
El proceso de encontrar una derivada es llamado diferenciación. El teorema fundamental del cálculo dice que la diferenciación es el proceso inversode la integración en funciones continuas.
La aplicación de estas funciones se puede explicar con ejemplos cotidianos, con situaciones que nos son familiares, y que están a nuestro alcance. Un caso particular e interesante para analizar, son las carreras del atleta nacional, Nery Brenes, quien en cuestiones de segundos resuelve competencias en cortas distancias por encima de grupos de corredoresque parecen moverse a la misma velocidad.

Objetivo General
Demostrar la aplicabilidad de las funciones derivadas en la vida real a través de un ejemplo cotidiano. Es decir, trasladar los números de las ecuaciones a una pista de atletismo y explicar cómo se utilizan las derivadas en la vida real.

Objetivos Específicos
* Desarrollar gradualmente un caso que permita utilizar la materiaaprendida en clase respecto a los teoremas de funciones derivadas, en situaciones reales.
* Determinar la velocidad a la que corre Nery Brenes, en el instante cuando se despega del grupo de corredores para ganar la competencia de 400 metros planos. Es decir, el paso entre la velocidad constante y el cambio que le permite triunfar.
* Explicar en términos de espacio y tiempo una funciónderivada, y detallar cómo suceden estos casos en la vida real.

Problema a Resolver

En una competencia normal de atletismo de 400 metros planos, Nery Brenes, corredor costarricense, participa junto a otros competidores. Durante un lapso de tiempo los corredores se mantienen en bloque a una velocidad constante. Sin embargo, uno de ellos, Nery Brenes, acelera su paso y se despega de sus rivaleslogrando cerrar la competencia con una victoria sin discusiones. Mediante una función derivada entre espacio y tiempo, se pretende demostrar en el momento dado que se da la aceleración, que permite a Nery Brenes llevarse la medalla de oro.

Marco Teórico:
Funciones Derivadas
Una función es derivable en un conjunto si es derivable en todos los puntos de dicho conjunto. Si una función (f,D) esderivable en un subconjunto D´ de su dominio D, es posible definir una nueva función que asocia a cada número real de D´ la derivada de f en ese punto:

La función así definida se llama función derivada, o simplemente, derivada de f. Se nota por f´ o también por Df(x). De la misma forma, a partir de la derivada primera se puede definir: si existe, su derivada, y que recibe el nombre de derivadasegunda:

Una función continua es aquella cuya regla de correspondencia asigna incrementos pequeños en la variable dependiente a pequeños incrementos de los elementos del dominio de dicha función, es decir, , y usando la expresión Δy + y = f(Δx + x), queda donde en este caso, f(x) = y. Ello quiere decir que , y si este último límite existe significa en consecuencia por un teorema de límites (un...