Trabajo de ecuaciones diferenciales

Contenido
Titulo pág.
Introducción 2
Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden 3
* Caso 13
* Caso 2 6
* Caso 3 7
* Caso 48
Transformación de Laplace 10
* Transformación de Laplace 10
* Teorema 1
* Teorema 2
* Transformación de una ecuación diferencial ordinaria
* Teorema 3
* Teorema 4
BibliografíaIntroducción

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:
* Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.
* Ecuaciones en derivadasparciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.
Para el entendimiento de las ecuaciones diferenciales realizamos el siguiente trabajo, el cual abarca las ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden y la transformación de Laplace.

Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden

1) Si la ecuación diferencial de segundoorden no contiene y, esta puede escribirse como:

d2ydx2=fx, dydx (1)

Considerando que dydx es la variable dependiente, y haciendo

p=dydx (2)

Se recibe: d2ydx2=ddx dydx=dpdx (3)

Substituyendo (2) y (3) en (1), nos queda que:dpdx=fx, p (4)

La ecuación (4) es una ecuación diferencial de primer orden.

Ejemplo: resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) xd2ydx2-dydx=3x2

b) x2d2ydx2+dydx2=0

Solución:

a) xd2ydx2-dydx=3x2 , la ecuación no contiene y, entonces:

p=dydx , d2ydx2=dpdx
Reemplazando estos valores en la ecuacióna) nos queda que:
xdpdx-p=3x2
Entonces
dpdx-px=3x2
La solución de esta ecuación es:
p=3x2+c1x (c1Es constante de integración)

Como p=dydx , entonces:
dydx=3x2+c1x
Integrando con respecto a x se obtiene:
y=(3x2+c1x) dx
Resolviendo la integral nos queda:
y= x3+ c1x2+c2
Donde c1 , c2 son constante arbitrarias.
b) x2d2ydx2+dydx2=0,la ecuación no contiene y, entonces:

p=dydx , d2ydx2=dpdx
Reemplazando estos valores en la ecuación b) nos queda que:
x2dpdx+p2=0
La solución de esta ecuación es:
p=-c1xx+c1 (c1Es constante de integración)

Como p=dydx , entonces:
dydx=-c1xx+c1
Integrando con respecto a x se obtiene:
y=-c1xx+c1 dx
Resolviendo laintegral nos queda:
y=c12 lnx+c1-c1x+c2
Donde c1 , c2 son constante arbitrarias.

2) Si la ecuación diferencial de segundo orden no contiene x, esta puede escribirse como:

d2ydx2=fy, dydx (1)

Considerando que dydx es la variable dependiente, y haciendo

p=dydx (2)

Se...