Trabajo de estocastico

LA TEORIA DE LA RENOVACION:
Es la rama de la teoría de la probabilidad que generaliza los procesos de Poisson para tiempos de retención arbitrarios. Un proceso de renovación es un proceso de conteo para el cual el tiempo entre los eventos sucesivos es independiente y está idénticamente distribuido. La variable aleatoria Xn representa el tiempo que ocurre el evento (n – 1) y el enésimo evento.Este es el tiempo entre llegadas.

FUNCION DE LA RENOVACION:
La variable es la adición de n variables independientes con distribución común F, por lo tanto Sn tiene como función de distribución la n-ésima convulación que es un operador matemático que transforma dos funciones F y G en una tercera función que de cierta forma simboliza la magnitud en la que se superpone F y una versióntrasladada e invertida de G. esta convulación de F consigo misma la llamaremos Fn:
P {Sn˂x} = Fn (x) = (F * F*…*F) (x), x≥0
La distribución de n está dada por:
P {N (t)= n} = Fn (t) – Fn ₊₁ (t)
La cantidad de eventos que han ocurrido hasta el momento t ≥ k ↔ k – ésimo evento sucede antes de t, es decir:
{N (t) ≥ k} ↔ {Sk ≤ t}

Por consiguiente tenemos que:
P {N (t)≥ k} = P {Sk ≤ t} = Fk (t) t ≥ 0, k = 1, 2,3………

En donde:
P {N (t)= k} = P {N (t) ≥ k} - P {N (t) ≥ k+1} = Fk (t) – Fk +1 (t)
Una de la función de mayor interés es la esperanza del número de eventos:
M (t) = Ɛ N (t)
Se conoce como la función de renovación:

Sustituyendo:

ECUACION DE LA RENOVACION:
Considere unproceso de renovación propio:
Considere ecuaciones de la forma

Se supone que z esta acotada sobre intervalos acotados.

Donde la integral se puede interpretar como una integral de Riemann – Stieltjes sobre dichos intervalos
PROCESO TRANSITORIO:
Generalizando, matris (cadena) contien P estados transitorios y q estados absorventes, la matris reordenda, presentara el aspecto siguiente:Donde:
I: Matriz unidad de dimensión q.
O: Matriz nula de dimensión qxp.
Q: Matriz pxq que contiene las probabilidades de paso de estados transitorios a absorbentes.
P: Matriz pxp que contiene la probabilidad de paso de estados transitorios a transitorios.
Se denomina matriz fundamental de la cadena o proceso de Markov al resultado de la operación: F= (I-P)-1; es decir, la matriz inversade la obtenida al restar de una matriz unidad de dimensiones n x n, la matriz P de probabilidades de paso de estado transitorio a transitorio.
TEOREMA:
Consideremos las matrices P, Q, F ya definidas, se verifica:
1. Si la cadena comienza en ai , transitorios, la probabilidad de que llegue a aj, absorbente, viene dada por el elemento ij de la matriz FQ.
2. la suma de elementos de la fila ide F, nos proporciona la media del número de veces que la cadena se mueve por estados transitorios antes de caer en uno absorbente, cuando empieza por el estado ai .
3. el elemento ij de F representa la media del número de veces que la cadena esta en aj (transitoria, sabiendo que empezó en ai, antes de caer en un estado absorbente

PROCESO DE DIFUSIÓN:

Es una extensión de los modeloslogarítmico-normal (o de crecimiento exponencial o Malthusiano) y de crecimiento de Gompertz, a través de la solución de una ecuación diferencial estocástica de Ito. De esta manera, hacemos todo el estudio del proceso a partir exclusivamente de la expresión analítica de la solución de la ecuación. En particular, obtenemos las expresiones de los momentos de las distribuciones finito dimensionales delproceso, a diferencia de los trabajos vía ecuaciones de Kolmogorov, que no disponen de la expresión del proceso y solo dan los de la distribución unidimensional o variable general del proceso.
La ecuación diferencial estocástica (E.D.E.) de Ito.

Donde X (t) es un proceso con valores en (0, ∞) = y como naturalmente, w (t) un proceso de Wiener unidimensional estándar.

1) EJEMPLO:...