trabajo de jose

funciones polinómicas y la propiedad de interpolación de Riesz
hay ejemplos simples de espacio que no son celosías vector que tienen estas propiedades , que la simple siendo probablemente los espacios de secuencias reales de (a) que convergen a
( A1 + A2 ) / 2 . Sin embargo no hay muchos ejemplos naturales . Un ejemplo importante es el espacio
de las funciones polinómicas de valor real en unintervalo cerrado en los reales , bajo la puntual
ordenar. Esto debería ser parte del folklore de la teoría de los espacios vectoriales ordenados , que se remonta
como lo hace , al menos, a 1966 Papel Reina de Fuchs [ 7 ] . Sin embargo , el resultado no parece ser así
conocido en absoluto . Probablemente hay varias razones para esto, incluyendo la relativa inaccesibilidad
de [ 7 ] , la falta de unaprueba completa allí, y el hecho de que el resultado no lo ha hecho en
cualquiera de los textos estándar. La razón de este último hecho es , sin duda, de que una prueba completa no es
todo lo que corta. Handelman , en [ 8 ] , ha dado una prueba de una generalización donde los polinomios son
restringido a un subcampo de los reales . Eso hace que la prueba aún menos transparente de lo necesario ytambién parece faltar algunos casos que necesitan ser considerados . En esta nota le damos los detalles completos
de una variante de la prueba de Handelman . De hecho , estamos en condiciones de demostrar que la única característica importante de
el dominio de las funciones es que se trata de un conjunto acotado de números reales ! Se prueba la única teorema :
Teorema 1 . Si X es un subconjunto novacío de los reales entonces el espacio , P (X ) , de de valor real
funciones polinómicas en X tiene la propiedad de interpolación de Riesz si y sólo si X es acotada.
Vale la pena señalar que el hecho de que el espacio de las funciones racionales en un cerrado delimitado
intervalo tiene el RIP se remonta al [ 12 ] ( una prueba completa puede encontrarse en [ 5 , Ejemplo 1.56 ] ) .
2 . Plano de laprueba
Después de lidiar con un par de casos triviales , la prueba consta de tres pasos principales. Estamos tratando con
funciones polinómicas en X, f1, f2 ≤ h1 , h2 . Consideremos el conjunto T =

i = 1,2 ; J = 1,2
{ t ∈ X : fi (t ) =
hj (t ) } , que vamos a ver que podemos tomar para ser un conjunto finito no vacío . La figura . 1 , donde f1 y f2
se muestran como líneas continuas pero H1 y H2 semuestran como líneas discontinuas , muestra un caso simple donde T
consta de sólo dos puntos . El primer paso es mostrar que para cada t ∈ T existe un polinomio gt
con f1, f2 ≤ ≤ gt h1 , h2 en un barrio de t en X. Esto se hace dando una condición sobre
los derivados de la GT en t que garantiza esto. La figura . 2 muestra sólo algunas partes de las gráficas de dos de estos
interpolación defunciones en los barrios de los puntos correspondientes t .
La segunda etapa , ilustrada en la figura . 3 , es utilizar el principio del palomar en el anillo de
funciones polinómicas en X para demostrar que esta condición se puede hacer para mantener a todos los puntos de T
DOS GRAFICAS QUE NO LAS PUDE COPIAR MIRAR EL DOCUMENTO
simultáneamente . Por supuesto que la interpolación no se mantendrá en todoslos puntos de X. Ahora resta la
función que hemos creado , como en la figura . 4 .
El paso final es cambiar los polinomios que cumplen en los puntos de t ∈ T en racional
funciones que no cumplen hasta dividiendo por un producto de p suficientemente altas potencias de factores
x - t , para t ∈ T . La existencia de una función que interpola en una vecindad de T se utiliza para
determinar elcomportamiento de estas funciones racionales cerca de los puntos t ∈ T . El comportamiento se muestra
en la figura . 5 , en los puntos t ∈ T se han convertido en polos con un comportamiento muy simple. Hay ahora
una brecha de manera uniforme estrictamente positiva entre las funciones superiores e inferiores y usamos Weierstrass
aproximación a poner un polinomio en el medio. Multiplicando por el...