Trabajo de Métodos Matemáticos

Trabajo de Métodos Matemáticos
Para la Mecánica
El Péndulo Doble y su
comportamiento
Isiah Zaplana Agut
5º Lic. Matemáticas

Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es
el océano
Sir Isaac Newton

Índice
1. Introducción y Planteamiento del Problema

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2. Cálculo del Lagrangiano en el caso del Péndulo Doble

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3. Cálculo de las Ecuaciones de Euler-Lagrange

54. Resolución Numérica y Grácos

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2.1. Cálculo de la Energía Cinética C . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Cálculo de la Energía Potencial P . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Cálculo del Lagrangiano L = C − P . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1. Ecuación para θ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Ecuación para θ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
3.3. Ecuaciones de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1. Preliminares para el Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Grácos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. Estudio cualitativo: Inestabilidad e Introducción a los Exponentes de Lyapunov
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1. Introducción yPlanteamiento del Problema
En este trabajo analizaremos el péndulo doble, es decir, daremos las ecuaciones que modelan su movimiento, observaremos que dichas ecuaciones (un
sistema de ecuaciones diferenciales de hecho) no puede atacarse de forma que
obtengamos una expresión de la solución por lo que deberemos recurrir al análisis
numérico y al estudio cualitativo del sistema para poder ver como secomportan las soluciones de dicho sistema. Concluiremos haciendo un estudio que del
comportamiento caótico que adelantamos que este péndulo presentará.
Comenzaremos este trabajo exponiendo los conceptos clave con los que trabajaremos, empezando claro, con la denición del péndulo doble:

Denición 1.1. Un péndulo doble es un péndulo formado por dos péndulos de
masas m1 y m2 unidos uno al otro porun hilo de longitud L2 , mientras que la
masa m1 esta unida a un punto jo por un hilo de longitud L1 . Dicho péndulo
comienza su movimiento con unos ángulos θ1 y θ2
Aquí tenemos una representación del péndulo doble en la forma en que suele
encontrarse siempre en la literatura que aborda el tema:

Nuestro objetivo es estudiar la posición de cada una de las masas en cada
instante de tiempo t(veremos que de hecho lo que más nos interesará será
conocer la posición de la masa m2 en cada instante t). Comencemos dando la
expresión de las posiciones de las masas en función del ángulo que describen
(que es de hecho de lo único de lo que realmente depende su posición) para así
poder comenzar con el estudio de las ecuaciones que rigen dicho movimiento y
conocen la expresión de suposición (a través de su ángulo) que tienen en cada
instante:
m1
ˆ x1 (t) = L1 sin(θ1 (t))
ˆ y1 (t) = −L1 cos(θ1 (t))

m2
ˆ x2 (t) = L1 sin(θ1 (t)) + L2 sin(θ2 (t))
ˆ y2 (t) = −L2 cos(θ1 (t)) − L2 cos(θ2 (t))

Nuestro siguiente paso es ver que herramienta física podemos usar para estudiar las ecuaciones del movimiento de este péndulo. Dicha herramienta será el
Lagrangiano, que denimos acontinuación:
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Denición 1.2. El Lagrangiano de un sistema dinámico, L, es una función matemática que permite conocer la evolución temporal y algunas de las principales
propiedades de dicho sistema. Nosotros usaremos la versión del Lagrangiano que
se usaba en mecánica clásica, es decir, la función matemática denida como la
diferencia entre la energía cinética del sistema, C , y la energíapotencial, P , del
mismo
La denición de lo qué es un sistema dinámico la daremos más adelante
(cuando estudiemos de forma cualitativa el sistema de ecuaciones diferenciales
que vamos a obtener). Por ahora bastara con decir que un sistema dinámico es
un modelo de algún fenómeno que evoluciona con el tiempo, como en este caso
ocurre con el movimiento del péndulo.
Una vez hallamos calculado la...