Trabajo De Matematica

MATEMATICA I.
Resolución de ejercicios: Práctica 2.

Ejercicio 1 (14)

Para cada una de las siguientes funciones, elegir dos intervalos A, B ⊆ R (los más grandes que encuentre) de forma tal quef : A −→ B sea biyectiva. Para estos A, B hallados calcular f −1 y gracar f −1 y f en un mismo sistema de coordenadas: (d) f (x) =
x+4 . x+3

(e) f (x) = −2(x + 1)2 + 3.

Solución.
(d) Enprimer lugar, comencemos a analizar cual es el dominio y la imagen de esta función. Como la función es un cociente de funciones, el denominador no puede anularse. Con lo cual, x + 3 debe ser distinto decero. Como
x+3=0

si y sólo si

x = −3

resulta que
Domf = R − {−3}

Para calcular la imagen, consideremos y ∈ R tal que
y= x+4 . x+3

Entonces y ∈ Imf si es posible encontrar un valor x ∈Domf tal que cumpla la igualdad anterior. Veamos como hallarlo despejando x y prestando atención a las condiciones que debe cumplir y para que el despeje pueda realizarse:
x+4 x+3 y · (x + 3) = x + 4yx + 3y = x + 4 yx − x = 4 − 3y x(y − 1) = 4 − 3y 4 − 3y x= y−1 y=

si y − 1 = 0

Luego, si y = 1 el denominador de la última expresión no se anula y es posible hallar el valor de x tal que y = f(x). Por lo tanto,
Imf = R − {1}.

Analicemos ahora si la función f : Domf −→ R es biyectiva: 1

• f es inyectiva porque para cada valor y0 ∈ Imf , gracias al despeje anterior, hallamos 4 − 3y0∈ Domf . Más formalmente, si x1 , x2 ∈ Domf tal que un único valor x0 = y0 − 1 f (x1 ) = f (x2 ) resulta que x1 + 4 x2 + 4 = x1 + 3 x2 + 3 (x1 + 4)(x2 + 3) = (x2 + 3)(x1 + 3) x1 x2 + 3x1 + 4x2 + 12 =x1 x2 + 3x2 + 4x1 + 12 3x1 + 4x1 = 3x2 + 4x2 x1 = x2 • f no es sobreyectiva porque Imf no coincide con el codominio dado R.

Con los datos obtenidos notamos que para que f resulte biyectiva(inyectiva y sobreyectiva) es necesario restringirla en conjuntos donde resulte sobreyectiva. Logramos esto cambiando el codominio inicial por el conjunto R − {1} para que coincida con la imagen de f . En...