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Función inyectiva

En matemáticas, una función  es inyectiva si a elementos distintos del conjunto  (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto  (codominio) de . Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una antiimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.
Así, por ejemplo, la función denúmeros reales , dada por  no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como  y . Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función  entonces sí se obtiene una función inyectiva.


Definición formal
De manera más precisa, una función  es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones equivalentes:
Si  son elementos de  tales que ,necesariamente se cumple .
Si  son elementos diferentes de , necesariamente se cumple 
Simbólicamente,

que es equivalente a su contrarrecíproco

Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos  y , entre los cuales existe una función inyectiva  tienen cardinales que cumplen:

Si además existe otra aplicación inyectiva , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.
Ejemplos
Paracualquier conjunto X y subconjunto S de X el mapa de inclusión S → X (el cual envía cualquier elemento s de S para si mismo) es inyectiva. En particular, la función identidad X → X es siempre inyectiva (y de hecho biyectiva).
La función f : R → R definida por f(x) = 2x + 1 es inyectiva.
La función g : R → R definida por g(x) = x2 no es inyectiva, porque (por ejemplo) g(1) = 1 = g(−1). No obstante,si g se redefine de manera que su dominio es los números reales no negativos [0,+∞), entonces g es inyectiva.
La función exponencial exp: R → R definida por exp(x) = ex es inyectiva (pero no sobreyectiva, porque no genera números negativos, los cuales no tienen relación con ningún valor de x).
El logaritmo natural En la función ln: (0, ∞) → R definida por x ↦ ln x es inyectiva.
Lafunción g : R → R definida por g(x) = xn − x no es inyectiva, ya que, por ejemplo, g(0) = g(1).
En términos más generales, cuando X e Y están ambos en la recta real R, a continuación, una función inyectiva f : R → R es aquella cuya gráfica nunca es cruzada por una línea horizontal más de una vez. Este principio se conoce como la prueba de línea horizontal.
Inyectividad en el espacio euclídeo
Dada unafunción  diferenciable con continuidad sobre un dominio del espacio euclídeo n-dimensional, pueden establecerse condiciones necesarias y suficientes para decidir cuando esta función es inyectiva. El teorema de la función inversa da una condición no suficiente para que una función diferenciable sea localmente inyectiva:

donde:
 es la matriz jacobiana de la función.
 es la función determinante.
Esta condición noes condición suficiente para garantizar la inyectividad de la función (de hecho tampoco es condición necesaria). Para encontrar condiciones suficientes se define el vector desplazamiento asociado a la función como el siguiente campo vectorial:

Esta función se interpreta como la diferencia entre la posición inicial de un punto y la posición final de su imagen. Puede demostrarse que existe unaconstante  si se cumple:

Donde:
, es la clausura topológica del dominio .
Entonces la función es [globalmente] inyectiva, puede demostrarse que  si el dominio  es convexo, mientras que un dominio no convexo requiere 

Función sobreyectiva
En matemática, una función  es sobreyectiva1 (epiyectiva, suprayectiva,1 suryectiva, exhaustiva1 o subyectiva) si está aplicada sobre todo el codominio, es decir,cuando cada elemento de "Y" es la imagen de como mínimo un elemento de "X".
Formalmente,




Cardinalidad y sobreyectividad
Dados dos conjuntos  y , entre los cuales existe una función sobreyectiva , se tiene que los cardinales que cumplen:

Si además existe otra aplicación sobreyectiva , entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.

Bibliografía
Bourbaki,...