trabajo de matematicas jenny berna

República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular
Para La Educación Universitaria
IUTEMBI – UNIPAP
Valera Estado Trujillo





















Integrantes:
Peña Jenny C.I: 15043976
Andara Berna C.I: 13050879
Sección: 64 “U”
Cátedra: Matemática I




Valera, abril de 2015
Limite de una función en un punto.


La noción de límite de una función en un número (un punto de la rectareal) se presentará mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la gráfica de la función




Para todo punto x ≠ 1 podemos trazar la gráfica por los métodos conocidos por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x=1, usamos dos conjuntos de valores x, uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro por la derecha. La siguientetabla muestra los correspondientes valores de f (x).

x se acerca al 1 por la izquierda  x se acerca al 1 por la derecha


x
0,9
0,99
0,999
1
1,001
1,01
1,1
f ( x )
2,71
2,9701
2,997001
¿?
3,003001
3,0301
3,31

f (x) se acerca al 3  f (x) se acerca al 3






La figura 1 es la gráfica de la función y como podemos observar, en dicha gráfica hay un salto en el punto (1; 3), esto se debe a que lafunción f no está definida en el número 1. Es de notar que ésta gráfica es la de la función  menos el punto (1; 3). La función g se obtiene a partir de la función f, factor izando el numerador y simplificando. La discusión anterior conduce a la siguiente descripción informal: Si f(x) se aproxima arbitrariamente a un número L cuando x se aproxima a a por ambos lados, decimos que el límite f(x) cuando x tiendea a es L, y escribimos


Definición de límite de una función
Sea f una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contiene a a excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) cuando x se aproxima a a es L, lo cual se escribe como
 
, si para cualquier , no importa que tan pequeña sea, existe una  tal que si  entonces 

Esta definición indica que losvalores de f(x) se aproximan al límite L conforme x se aproxima al número a, si el valor absoluto de la diferencia  puede hacerse tan pequeña como de desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual a a.

En la definición no se menciona nada acerca del valor de f(x) cuando x = a; recordemos que la función no necesita estar definida en a para que  exista.

Ejemplos 1.
1) Utilicemos la definición parademostrar que  

Como la función está definida en todo intervalo abierto que contiene a 2, entonces podemos utilizar la definición para hacer la demostración.
Se debe demostrar que para cualquier  existe una tal que
si  entonces  (A)
si  entonces 
si  entonces 
si  entonces 

Entonces, si tomamos  se cumple la proposición (A).
Esto demuestra que  Tomando , 

 luego, para esos valores de  y losnúmeros x que pertenecen al intervalo abierto  verifican la proposición(A). En efecto, tomando cualquier x en el intervalo anterior, por ejemplo x = 1,9976 se tiene:



Entonces



Esto verifica la proposición (A) para el valor específico tomado para x.
2) Demostrar usando la definición de límite que 

Como la función está definida en cualquier intervalo abierto que contenga al 1, excepto en el número1, podemos aplicar la definición para realizar la demostración. En efecto,
si  entonces  (B)
si  entonces 
si  entonces 
si  entonces 
si  entonces 
Ahora, cuando x se acerca a 1, x +2 se acerca a 3, luego,  entonces,  por lo tanto,  De la proposición (B) se obtiene que, si  entonces  Si tomamos  se cumple la proposición (B), lo que demuestra que 


Ejercicios propuestos 1.

Demuestre, aplicando ladefinición que el límite es el número indicado.

1)
2)
3)
4)

Con la finalidad de calcular los límites de funciones de una manera más fácil y eficaz, que aplicando la definición, son empleados los teoremas 2.1 al 2.10.


Teorema 1. Límite de una función lineal.


Sea  donde m y b son dos números reales cualesquiera y, entonces

Ejemplo 2.





Teorema 2. Límite de una función...