Trabajo de mkt

Pauta Certamen 1, 2011, Tema 1 1. La matriz es sim´trica. Los valores propios son los λ ∈ R tales que el detere minante de det(A − λI) = 0 si A es la matriz del sistema de ecuaciones. det(A − λI) = (1 − λ)(λ2 − 2λ − (a2 + b2 − 1) √ √ = 0 ⇔ λ = 1 ∨ λ = 1 + a2 + b2 ∨ λ = 1 − a2 + b2 . Los autovalores de A son todos mayores que cero ssi a2 + b2 < 1. Adem´s, a 2 2 si a + b < 1 la matriz esestrictamente diagonal dominante y tanto el m´todo de Jacobi como el de Gauss-Seidel converger´ a la soluci´n exacta e ıan o del sistema de ecuaciones. (i) es falsa. (1 − a)(1 + a) > 0 ⇔ a ∈ (−1, 1). S´lo esta condici´n no o o basta para garantizar convergencia del m´todo del Gradiente conjugado, por e ejemplo, si a = 1 , b = 4, a2 + b2 > 1 y la matriz no es definida positiva. 2 (ii) es verdadera, (iii) esfalsa pues si a = 1 , b = 1 , a + b < 1 y para este par 2 4 de valores de a, b el m´todo del Gradiente Conjugado converge. e Respuesta correcta: 1b 2. En clases se mencion´ que, si x es la soluci´n exacta a un sistema de ecuacioo o nes que se resuelve por un m´todo de la forma x(k+1) = M x(k) +d y M < 1, e entonces M x(k+1) − x(k) . x(k+1) − x ≤ 1− M Si la matriz de iteraci´n de los m´todos deJacobi y Gauss-Seidel satisface o e que su norma es 0,9 y el m´todo iterativo para con x(k+1) − x(k) ≤ 10−10 , e entonces 0,9 10−10 . x(k+1) − x ≤ 1 − 0,9
0,9 Dado que 1−0,9 10−10 < 10−6 , el criterio de parada es bueno. Repuesta correcta: 2d

3. Para derivar los m´todos de Jacobi y Gauss-Seidel, la matriz A se descome pone en A = D−E −F seg´n se explic´ en clases. Para construir las matrices u oD, E, F en matlab se hace D = diag(diag(A)), E=-(tril(A)-diag(diag(A))), F=-(triu(A)-diag(diag(A))). La matriz de iteraci´n del m´todo de Gausso e −1 Seidel es M = (D − E) F . En matlab ser´ entonces ıa inv(diag(diag(A))+tril(A)-diag(diag(A)))*(-triu(A)+diag(diag(A))). Esto es equivalente a tril(A)\(-triu(A)+diag(diag(A))). Respuesta correcta: 3b.

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4. Un m´todo iterativo de la forma x(k+1)= M x(k) + d converge a la soluci´n e o exacta del sistema de ecuaciones (I − M )x = d ssi el radio espectral de la matriz de iteraci´n M es estrictamente menor que 1. Como esta condici´n es o o necesaria y suficiente para la convergencia del m´todo, las afirmaciones (i), e (ii) sy (iii) son verdaderas, s´lo (iv) es falsa. o Respuesta correcta: 4b. 5. La matriz del sistema de ecuaciones dado essim´trica y definida positiva. e El m´todo del Gradiente conjugado converge en un n´mero de iteraciones e u menor o igual que el orden de la matriz que es 3. Respuesta correcta: 5b. 6. El polinomio l2 es l2 (x) = x(x − 2)(x − 5) . 4 · 2 · (−1)

1 Entonces l2 (3) = 3 , l2 (4) = 1 y l2 (3) − 4 l2 (4) = 1 . 4 2 Respuesta correcta: 6b.

7. Si f (x) = sin(x), p es el polinomio de grado menor o igual que2 que interpola a f en los puntos dados y E(x) = f (x) − p(x), se cumple E(x) = f (θx ) π x x− (x − π) . 3! 2

Dado que |f (x)| ≤ 1 ∀x ∈ [0, π] se tiene que |E π 1 π π π |≤ − 4 6 4 4 2 π −π 4 = π3 . 128

Respuesta correcta: 7a 8. Dados x0 , x1 , . . . , xn distintos entre s´ el polinomio de grado menor o igual ı, que n que interpola a una funci´n dada en esos puntos existe y es unico. El o ´teorema visto en clases no nos dice qu´ ocurre si buscamos un polinomio de e grado mayor que n que interpole a una funci´n en n + 1 puntos distintos o entre s´ ı. Con polyfit(x,y,2) se busca el polinomio de grado menor o igual que 2 que interpola a la funci´n en 3 puntos distintos entre s´ Este polinomio existe y o ı. es unico. ´ Respuesta correcta: 8c. 9. Un spline c´bico s(x) que interpola a unafunci´n dada en puntos x0 < u o x1 < . . . < xn se define a tramos, en cada tramo [xi , xi+1 ], i = 0, . . . , n − 1 es un polinomio de grado menor o igual que 3 y es 2 veces continuamente diferenciable. Adem´s satisface s(xi ) = f (xi ) i = 0, 1, . . . , n. Las derivadas a de s(x) no tienen que coincidir con las de f . Respuesta correcta: 9c. 2

10. Despu´s del primer paso de la e entradas...