Trabajo En Solver

Ejercicios de formulaci´n de problemas
o
Programaci´n Matem´tica
o
a
LADE
Curso 07/08 - 12/3/08
1. Una compa˜´ petrolera produce un tipo de gasolina a partir de petr´leo. Puede comprar
nıa
o
cuatro tipos de petr´leo y dispone de los siguientes datos:
o
Crudo
1
2
3
4

A
0.8
0.3
0.7
0.4

B
0.1
0.3
0.1
0.5

C
0.1
0.4
0.2
0.1

Precio/litro
43
31
47
37

A, B yC denotan los elementos a partir de los cuales se puede producir cada tipo de crudo.
La tabla muestra los porcentajes de cada elemento en cada crudo producido.
Las exigencias del mercado imponen que el crudo de base para la obtenci´n de gasolina
o
debe tener al menos el 60 % del elemento A y no m´s del 30 % de C.
a
Obt´n el crudo base mezclando de los cuatro tipos de forma tal que el costesea m´
e
ınimo.
Soluci´n. Las variables del problema se escogen como las cantidades xi de cada tipo de
o
petr´leo que la compa˜´ desea adquirir y que definir´n el crudo base para la producci´n
o
nıa
a
o
de gasolina. Dichas cantidades se miden en tantos por uno (por ejemplo).
La funci´n objetivo ser´ el coste (por unidad) de la mezcla a utilizar, y las restricciones
o
a
ser´n lascondiciones sobre la composici´n de la mezcla respecto de los componentes A y
a
o
C (que en la formulaci´n m´s abajo se presenta medida en tanto por ciento). Por ultimo,
o
a
´
nos hace falta indicar que al estar las variables medidas como tantos por uno, deben sumar
uno.
El problema resultante tiene la forma:
minimizar
sujeto a

43x1 + 31x2 + 47x3 + 37x4
80x1 + 30x2 + 70x3 + 40x4 ≥ 6010x1 + 40x2 + 20x3 + 10x4 ≤ 30
x1 + x2 + x3 + x4 = 1
x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0.

2. Una compa˜´ de transporte dispone de 10 camiones con capacidad de 40000 libras y
nıa
de 5 camiones con capacidad de 30000 libras. Los camiones grandes tienen un coste de
transporte de 30 c´ntimos/milla, y los peque˜os de 25 c´ntimos/milla. En una semana la
e
n
e
compa˜´ debe transportar 400000 libras en unrecorrido de 800 millas. La posibilidad de
nıa
otros compromisos recomienda que por cada dos camiones peque˜os mantenidos en reserva
n
debe quedarse por lo menos uno de los grandes.
¿Cu´l es el n´mero de camiones de ambas clases que debe movilizarse para ese transporte
a
u
de forma ´ptima y teniendo en cuenta las restricciones?
o
1

Soluci´n. Las variables en este caso corresponden a losn´meros de camiones a emplear
o
u
de cada tipo, x1 y x2 .
La funci´n objetivo es el coste total de los camiones asignados, multiplicando el coste por
o
recorrido (coste por milla multiplicado por las 800 millas) por las variables.
Las restricciones vienen dadas por los n´meros m´ximos de camiones disponibles de cada
u
a
tipo, la necesidad de transportar una carga y los n´meros decamiones mantenidos en
u
reserva.
El modelo resultante es
minimizar
sujeto a

30 × 800x1 + 25 × 800x2
x1 ≤ 10
x2 ≤ 5
40000x1 + 30000x2 ≥ 400000
2(10 − x1 ) ≥ 5 − x2
x1 , x2 ≥ 0 , enteras.

3. Se pide que formules el siguiente problema de programaci´n lineal: Tienes 2200 euros
o
disponibles para invertirlos durante los pr´ximos cinco a˜os. Al inicio de cada a˜o puedes
o
n
n
invertirparte del dinero en dep´sitos a un a˜o o a dos a˜os. Los dep´sitos a un a˜o pagan
o
n
n
o
n
un inter´s del 5 %, mientras que los dep´sitos a dos a˜os pagan un 11 % al final de los dos
e
o
n
a˜os. Adem´s, al inicio del segundo a˜o es posible invertir dinero en obligaciones a tres
n
a
n
a˜os de la empresa X., que tienen un rendimiento (total) del 17 %. Plantea el problema
n
linealcorrespondiente a conseguir que al cabo de los cinco a˜os tu capital sea lo mayor
n
posible.
Soluci´n. Para plantear el problema seleccionamos como variables las cantidades a invertir
o
en cada activo (dep´sitos u obligaciones), xti , donde t indica el a˜o al que corresponde la
o
n
inversi´n e i denota el vencimiento de la inversi´n. Tendremos un total de 10 variables,
o
o
x11 , x12 , x21...