trabajo ligero

En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada.
En laRegla de L'Hopital, cuando tenemos que obtener el limite de una función racional f(x)/g(x) en un punto 'a' (o sea un punto cualquiera) y en ese punto obtenemos una indeterminación, ya que el lagrafica existe una descontinuidad de tipo eliminable. (en palabras mas sencillas cuando sustituimos nos sale cero/cero o infinito/infinito.
Esa es la condicion para usar la regla de L'Hopital, la cual nosdice que en ese caso el Lim f(x)/g(x)=Lim f'(x)/g'(x).
Ejemplo1:
Limite de (x^2 - 1)/(x^2 + 2x - 3) cuando x tiende a 1
si sustituimos nos queda asi:
( (1)^2 - 1) / ( (1)^2 + 2(1) - 3) = (1 - 1)/ ( 1+ 2 - 3)= (0)/(0)
Se indetermina con 0/0 asi que podemos aplicar L'Hoplital, derivamos numerador y derivamos el denominador y queda asi:
Limite de (2x) / (2x + 2) cuando x tiende a 1sustituimos y queda
( 2(1) ) / ( ( 2(1) + 2) = 2/4 = 1/2
Ese seria el resultado del limite cuando la funcion tiende a 1
Ejemplo 2.
Tu mencionaste un logaritmo natural, entonces este ejemplo tienelogaritmo natural.
Limite de [1] / [ (x - 2) LN(x - 2) ] cuando x tiende a 2
si sustituimos nos queda algo asi
1/[(cero)(-infinito)]
pudieramos pensar que no se puede usar L'Hopital, pero si acomodamosla funcion de una manera diferente si:
1 / [(x - 2) LN(x - 2) ]=[ 1 / (x - 2) ] / [ LN(x - 2) ]
si sustituimos aqui nos queda asi:
[1/(2-2)]/[LN(2-2)]=[1/(0)]/[LN(0)] = infinito/infinito
entoncespodemos utilizar L'Hopital debido al tipo de indeterminacion que nos dio. Derivamos el numerador y el denominador y queda asi:
Limite de [ 1 / (x - 2)^2 ] / [ 1 / (x - 2) ] cuando x tiene a 2aplicamos la divicion
(x - 2) / (x - 2)^2
simplificamos
1 / (x - 2)
sustituimos
1 / (2 - 2) = 1 / 0 -> Infinito
El limite de la funcion original tiende a Infinito cuando x tiende a 2

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