Trabajo Mate

Clases de equivalencia:
Cerradura de una relación:
Lo que este tema nos explica, es que hay tres diferentes formas para cerrar una relación, es decir, esto se debe a según su origen por ejemplo.
La cerradura reflexiva que se representa de la siguiente forma ref(R) se da cuando ref(R) de R en A es la “menor” relación que la incluye y que es reflexiva y se representa simbologicamente de lasiguiente forma:
(∀ R’ reflexiva) (A ⊆ R’ ⊆ ref( R )) ⇒ R’ = ref( R )
La cerradura simétrica que se representa de la siguiente forma sim(R) se da cuando sim(R) de R en A es la “menor” relación que la incluye y que es simétrica y se representa simbologicamente de la siguiente forma:
(∀ R’ simetrica) (A ⊆ R’ ⊆ sim( R )) ⇒ R’ = sim( R ).
La cerradura transitiva que se representa de la siguiente formatrans(R) se da cuando trans(R) de R en A es la “menor” relación que la incluye y que es transitiva y se representa simbologicamente de la siguiente forma:
(∀ R’ transitiva) (A ⊆ R’ ⊆ trans( R )) ⇒ R’ = trans( R )
Se puede decir también que tanto como la cerradura reflexiva como la cerradura simétrica son muy fáciles de encontrar solamente se le agregan los pares necesarios de una forma directa.
Cuandose conoce la matriz asociada a la relación a través del siguiente teorema:
Sea R una relación en A y MR su matriz asociada. La cerradura reflexiva y la cerradura simétrica de R son únicas y se pueden obtener mediante las matrices siguientes
Mref( R ) = MR ∪ In, donde In es la matriz identidad de orden |A|.
Msim( R ) = [a ij], donde a ji = 1 si a ij = 1 en MR.

Cierre de equivalencia:
Esta parte nosexplica que para calcular el cierre de equivalencia de una relación binaria R sobre un conjunto A calcularemos primero su cierre reflexivo, ρ(R) sobre el resultado calcularemos el cierre simétrico, σ(ρ(R)) finalmente el cierre transitivo del resultado anterior, τ (σ(ρ(R)
Al conjunto de los elementos del conjunto A que están relacionados con él se llama clase de equivalencia. 
Ejemplo: La relación a- b = 2.k (múltiplo de 2), siendo a y b números enteros es una relación de equivalencia porque cumple las propiedades:
Reflexiva: a - a = 0 = 2.k (k = 0).
Simétrica: a - b = b - a porque b - a  = -(a - b). Si a - b es múltiplo de 2, -(a - b) también lo será.
Transitiva: a - b = 2.k1   b - c = 2.k2  Sumando queda a - c = 2.k3 Entonces a - c es múltiplo de 2. 
En el ejemplo anterior, la clase deequivalencia del número cero (uno de los elementos del conjunto de los números enteros)  C(0) = {... -4, -2, 0, 2, 4, ...}, pues 0 - (-4) es múltiplo de 2, 0 - (-2) es múltiplo de 2 ya sí sucesivamente. La clase de equivalencia del número 1 será C(1) = {... -5, -3, -1, 1, 3, 5, ...} pues la diferencia entre 1 y los números indicados es múltiplo de 2. 
Del mismo modo podríamos calcular las clases deequivalencia de más números. El conjunto formado por las clases de equivalencia se llama conjunto cociente.
En el ejemplo anterior el conjunto cociente Z / 2 es el conjunto formado por las clases de todos los elementos Z / 2 = {C(0), C(1), C(2), ... }.
Función inyectiva:
Lo que este tema me dio a entender es que una función es inyectiva es cuando se cumple alguna de las siguientes afirmaciones:a) Si a y b son elementos de X tales que f(a) = f(b) se cumple: a=b
b) Y también si a y b son diferentes de X
Simbologicamente se representan de las siguiente forma:


Ordenes parciales:
Se dice que una relación tiene un orden parcial cuando esta es reflexiva, asimétrica,o transitiva. Como ejemplo cuando R tienen una ordenación parcial con A se dice que es un conjunto parcialmente ordenado y sedenota (A,R)
Producto cartesiano:
Se da a entender como producto cartesiano al producto de un conjunto del cual sus elementos son pares ordenados que se forman a partir de tomar el primer elemento del primer par ordenado y el segundo elemento del segundo par ordenado.
Ejemplo:

y

su producto cartesiano es:


Propiedades de la relación reflexiva:
Se dice que una relación es reflexiva cuando se...