trabajo mates

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8 GEOMETRÍA ANALÍTICA

E J E R C I C I O S

P R O P U E S T O S

8.1 Las coordenadas de los vértices de un rectángulo son A(2, 2); B(2, 5); C(6, 5), y D(6, 2).
៮៬, BC
៮៬, CD
៮៬ y DA
៮៬. ¿Qué relación existe entre AB
៮៬ y
Halla las coordenadas y representa los vectores AB
៮៬
៮៬
៮៬
CD ? ¿Y entre BC y DA ?
៮៬ ϭ (0, 3)
AB
៮៬ ϭ ϪCD៮៬
AB

៮៬ ϭ (4, 0)
BC
៮៬ ϭ ϪDA
៮៬
BC

៮៬ ϭ (0, Ϫ3)
CD

៮៬
DA ϭ (Ϫ4, 0)

៮៬ son (3, 4). ¿Cuáles son las coordenadas
8.2 Las coordenadas de un punto A son (3, 1) y las del vector AB
៮៬ tenga el mismo módulo y la misma
del punto B? Determina otro punto C de modo que el vector AC
៮៬
dirección que el vector AB , pero distinto sentido.
៮៬ ϭ (Ϫ3, Ϫ4)
AC

B ϭ (3 ϩ 3, 4 ϩ 1) ϭ (6,5)

C ϭ (Ϫ3 ϩ 3, Ϫ4 ϩ 1) ϭ (0, Ϫ3)

៮៬ ‫( ؍‬7, 0); c៮៬ ‫( ؍‬؊6, 2); d៮៬ ‫( ؍‬3, ؊1), y e៮៬ ‫( ؍‬؊6, 0) con origen en el
8.3 Representa los vectores a៮៬ ‫( ؍‬2, 2); b
origen de coordenadas. ¿Qué coordenadas tienen los extremos de cada vector?
Y

Las coordenadas de los extremos de cada vector
coinciden con las coordenadas de los vectores.

(–6, 2)

(2, 2)
c

1
O

e

(–6, 0)a
(7, 0)

b
1

X
d

(3, –1)

8.4 Halla las coordenadas de los vectores de la figura.
a៮៬ ϭ (2, 2)
b៮៬ ϭ (7, 0)
c៮៬ ϭ (Ϫ6, 2)
d៮៬ ϭ (3, Ϫ1)
e៮៬ ϭ (Ϫ6, 0)

Y
c

1
O

e

a
b
1

X
d

8.5 Dados los vectores u
៮៬ ‫( ؍‬6, 5); v៮៬ ‫( ؍‬؊3, 0) y w
៮៬ ‫( ؍‬2, ؊4), calcula:
៮៬
a) 2u
៮៬
b) 3v៮៬ ؊ w
៮៬ ؊ v៮៬) ؉ w
៮៬
c) 5(u
a) 2u៮៬ ϭ 2 и (6, 5) ϭ (12, 10)
៮៬ ϭ 3 и(Ϫ3, 0) Ϫ (2, Ϫ4) ϭ (Ϫ9, 0) Ϫ (2, Ϫ4) ϭ (Ϫ11, 4)
b) 3v៮៬ Ϫ w
៮៬ ϭ 5 и [(6, 5) Ϫ (Ϫ3, 0)] ϩ (2, Ϫ4) ϭ 5 и (9, 5) ϩ (2, Ϫ4) ϭ (45, 25) ϩ (2, Ϫ4) ϭ (47, 21)
c) 5(u៮៬ Ϫ v៮៬) ϩ w
8.6 Los vértices de un paralelogramo son A(3, 4); B(؊4, 4); C(3, ؊4), y D. ¿Cuáles son las coordenadas de D?
Y
B (–4, 4)

A (3, 4)

D(10, Ϫ4)
1
O

X

1

C (3, –4)

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D

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៮៬ ‫( ؍‬10, ؊4); c៮៬ ‫( ؍‬14, ؊4), y d៮៬ ‫( ؍‬؊19, 2), determina si son linealmente
8.7 Dados los vectores a៮៬ ‫( ؍‬؊7, 2); b
dependientes:
៮៬
a) a៮៬ y b
៮៬ y d
៮៬
b) a៮៬, b
c) a៮៬ y c៮៬
៮៬, c៮៬ y d
៮៬
d) b
a) a៮៬ ϭ ␭b៮៬ ⇒ (Ϫ7, 2) ϭ ␭(10, Ϫ4) no tiene solución; por tanto, son linealmente independientes.
Ϫ3
␣ ϭ ᎏᎏ
Ϫ7
ϭ
10␣
Ϫ
19␤
7
b) a៮៬ = ␣b៮៬ ϩ ␤d៮៬ ⇒ (Ϫ7,2) ϭ ␣(10, Ϫ4) ϩ ␤(Ϫ19, 2) ⇒
⇒
⇒ a៮៬, b៮៬ y d៮៬ son linealmente
1
2 ϭ Ϫ4␣ ϩ 2␤
␤ ϭ ᎏᎏ
dependientes.
7
c) (Ϫ2) и a៮៬ ϭ c៮៬ ⇒ linealmente dependientes.
7
␣ ϭ ᎏᎏ
6
10
ϭ
14␣
Ϫ
19␤
⇒
⇒ a៮៬, b៮៬ y d៮៬ son linealmend) b៮៬ ϭ ␣c៮៬ ϩ ␤d៮៬ ⇒ (10, Ϫ4) ϭ ␣(14, Ϫ4) ϩ ␤(Ϫ19, 2) ⇒
1
Ϫ4 ϭ Ϫ4␣ ϩ 2␤
␤ ϭ ᎏᎏ
te dependientes.
3

·

·

8.8 Indica las coordenadas de los siguientes vectores yrepreséntalos gráficamente.
c) c៮៬ ‫ ؍‬14i៬ ؊ 4j៬
a) a៮៬ ‫ ؍‬؊7i៬ ؉ 2j៬
៮៬ ‫ ؍‬10i៬ ؊ 4j៬
៮៬ ‫ ؍‬؊19i៬ ؉ 2j៬
b) b
d) d
a) a៮៬ ϭ Ϫ7i៬ ϩ 2j៬ ϭ Ϫ7(1, 0) ϩ 2(0, 1) ϭ (Ϫ7, 2)
b) b៮៬ ϭ 10i៬ Ϫ 4j៬ ϭ (10, Ϫ4)

c) c៮៬ ϭ 14i៬ Ϫ 4j៬ ϭ (14, Ϫ4)
d) d៮៬ ϭ Ϫ19i៬ ϩ 2j៬ ϭ (Ϫ19, 2)
Y

(–19, 2)

(–7, 2)
d

a

1
O

X

1
c
b
(10, –4)

(14, –4)

8.9 Dados los vectores u
៮៬ ‫( ؍‬1, 2);v៮៬ ‫( ؍‬3, ؊4); w
៮៬ ‫( ؍‬2, ؊3) y z៮៬ ‫( ؍‬4, ؊6) realiza estas operaciones.
៮៬ ؒ v៮៬
៮៬ ؒ z៮៬
៮៬ ؉ v៮៬) ؒ w
៮៬
b) w
c) (u
a) u
a) u៮៬ и v៮៬ ϭ (1, 2) и (3, Ϫ4) ϭ 3 Ϫ 8 ϭ Ϫ5
b) w
៮៬ и z៮៬ ϭ (2, Ϫ3) и (4, Ϫ6) ϭ 8 ϩ 18 ϭ 26
៮៬ ϭ [(1, 2) ϩ (3, Ϫ4)] и (2, Ϫ3) ϭ (4, Ϫ2) и (2, Ϫ3) ϭ 8 ϩ 6 ϭ 14
c) (u៮៬ ϩ v៮៬) и w
8.10 Los módulos de dos vectores son 6 y 10. Halla el producto escalar deambos vectores si el ángulo que
forman es de 60؇.
1
u៮៬ и v៮៬ ϭ | u៮៬ | и | v៮៬ | и cos (u៮៬, v៮៬) ϭ 6 и 10 и cos 60Њ ϭ 60 и ᎏᎏ ϭ 30
2
8.11 Calcula el módulo de estos vectores.
a) a៮៬ ‫( ؍‬3, ؊1)
៮៬ ‫( ؍‬؊2, ؊7)
b) b
2
ϩ (ෆ
Ϫ1)2 ϭ ͙10
ෆ
͙3ෆ
2
2
៮៬
b) | b | ϭ ͙ෆ
(Ϫ2) ϩෆ
(Ϫ7) ϭ ͙53
ෆ

a) | a៮៬ | ϭ

c) c៮៬ ‫( ؍‬؊4, 5)
d) d៮៬ ‫( ؍‬6, 0)
2
ϩෆ
52 ϭ ͙41
ෆ
ෆ
͙(Ϫ4)
2
2
៮៬...