Trabajo Pai Pro

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
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Trabajo PAI de MATEMÁTICAS |

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PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

1ª PARTE: “EL DEPÓSITO DE AGUA”

Con una plancha de metal cuadrada, de 2 metros de lado, se quiere construir un depósito de agua sin tapa. Para ello se recortan cuadrados iguales en las esquinas, se dobla el metal que queda y se sueldan las aristas como se muestra en la figura.

a) ¿Crees queel volumen del depósito construido dependerá del tamaño del cuadrado cortado de la lámina metálica inicial?
* Justifica tu respuesta mediante razonamientos numéricos y gráficos.
* Obtén una expresión algebraica que relacione el volumen del depósito con la longitud del cuadrado cortado.

b) ¿Qué tamaño deben tener los cuadrados recortados de la plancha de metal para que el volumen deldepósito sea máximo? Calcúlalo con la mayor precisión posible.

2ª PARTE: “EL APRISCO”

Un pastor desea construir en el monte un aprisco de forma rectangular. Compra 100 metros de tela metálica para hacer la cerca con la intención de que el aprisco tenga la mayor superficie posible.

a) ¿Crees que la superficie del corral construido dependerá de su forma y de las dimensiones de los lados?* Justifica tu respuesta mediante razonamientos numéricos y gráficos.
* Obtén una expresión algebraica que relacione el área del aprisco con su longitud.

b) ¿Cuáles serían las dimensiones del aprisco de mayor superficie? Calcúlalo con la mayor precisión posible.

“El depósito de agua” y “el aprisco” son dos sencillos problemas de optimización, el primero con una única variable y elsegundo con dos. En este tipo de problemas el objetivo siempre es obtener el máximo o el mínimo de una función sujeta a unas condiciones.
Hay muchas situaciones en la ciencia, la tecnología, la economía, las finanzas, la medicina,... en las que aparece una función a optimizar.
A continuación se propone un problema de optimización con una clara aplicación a la vida cotidiana. Se trata de buscar lasdimensiones que debería tener una lata de refresco para que la cantidad de material necesario para fabricarla sea mínima.

3ª PARTE: “LA LATA DE REFRESCO”

Siempre que vas a comprar a una tienda, supermercado o centro comercial, encuentras múltiples productos que están envasados de muy diferentes formas y con distintos contenidos. Tienes que saber que en tus compras no sólo pagas el producto,sino también otros gastos que intervienen en su producción: material del envase, costes de fabricación, IVA, etc. Además, las distintas marcas intentan llamar tu atención utilizando recursos publicitarios, ofertas, etc.
Las matemáticas pueden ayudarte a tomar una decisión cuando compres un determinado producto, informándote sobre aspectos como relación precio-cantidad, descuentos, ofertas,formas de los envases.

¿Te has preguntado por qué las latas de refresco tienen todas una forma tan parecida? Los fabricantes han decidido utilizar latas cilíndricas después de tener en cuenta muchos aspectos: facilidad de manipulación, resistencia...
Pero, ¿cuáles han de ser las dimensiones de la lata para que esta permita almacenar un determinado volumen utilizando en su construcción lamínima cantidad de material? Vamos a estudiarlo.

a) ¿Qué tipo de figura geométrica es una lata de refresco? Mide las dimensiones de una que tengas en casa y dibuja su desarrollo plano.
b) Calcula la cantidad de material necesario para su fabricación (en cm2).
c) Calcula la capacidad del envase construido (en cm3 y litros) ¿Coincide con lo que marca la lata? ¿por qué?
d) ¿Coincide lasuperficie calculada en el apartado b con la empleada en realidad?
e) Si el metro cuadrado de chapa le cuesta al fabricante 1,80 €. ¿Cuál será el gasto de material de cada lata?
f) ¿Crees que se pueden construir otros envases con la misma forma que contengan 33 cl. de refresco y que sean más baratos de fabricar? Para responder a esta cuestión dibuja el desarrollo plano de otros envases...