Trabajo tipo 1

Sebastián Gordillo Dávalos
Matemáticas
Trabajo Tipo 1
Diego Ramos

Esta expresión se la conoce como una suma infinita:

Tn (a,x) = 1+(xlna)1! + (xlna)22! + (xlna)33! +………+ (xlna)nn!

Sabiendo tal expresión o mejor dicho tal secuencia hacia al infinito, se puede empezar dando valores a “x” y a “a”, en este caso empezaré por mantener a “x” constante y dar valores a “a” hasta el 5 paraempezar a encontrar algún patrón si es posible, mostrando su respectivo gráfico.

Tabla cuando x=1 y a=2 |   |   |
n | tn | Sn |
0 | 1,000000 | 1,000000 |
1 | 0,693147 | 1,693147 |
2 | 0,240227 | 1,933374 |
3 | 0,055504 | 1,988878 |
4 | 0,009618 | 1,998496 |
5 | 0,001333 | 1,999829 |
6 | 0,000154 | 1,999983 |
7 | 0,000015 | 1,999999 |
8 | 0,0000013 | 2,000000 |
9 |0,00000010 | 2,000000 |
10 | 0,00000001 | 2,000000 |
 Total | 2,00000000 | 20,613706 |

Sn se la puede tomar como la fracción acumulada en una tabla de estadística, siendo la forma más factible para al final, sacar la expresión final para esta suma infinita.

Tabla cuando x=1 y a=3 |   |   |
n | tn | Sn |
0 | 1,000000 | 1,000000 |
1 | 1,098612 | 2,098612 |
2 | 0,603474 | 2,702087 |
3 |0,220995 | 2,923082 |
4 | 0,060697 | 2,983779 |
5 | 0,013336 | 2,997115 |
6 | 0,002442 | 2,999557 |
7 | 0,000383 | 3,000E+00 |
8 | 0,000053 | 3,000E+00 |
9 | 0,000006 | 3,000E+00 |
10 | 0,000001 | 3,000E+00 |
 Total | 3,000000 | 2,970E+01 |

Se puede observar en este gráfico que aparece otra asíntota, siendo de nuevo el T10
De la columna de Sn el mismo valor de la asíntota.Tabla cuando x=1 y a=4 |   |   |
n | tn | Sn |
0 | 1,000000 | 1,000000 |
1 | 1,386294 | 2,386294 |
2 | 0,960906 | 3,347200 |
3 | 0,444033 | 3,791233 |
4 | 0,153890 | 3,945123 |
5 | 0,042667 | 3,987791 |
6 | 0,009858 | 3,997649 |
7 | 0,001952 | 3,999601 |
8 | 0,000338 | 3,999940 |
9 | 0,000052 | 3,999992 |
10 | 0,000007 | 3,999999 |
 Total | 3,999999 | 38,454823 |

Puedoobservar cierto patrón, ya que las asíntotas se van aumentando de uno en uno, la primera tomo el valor de 2, la anterior de 3 y ahora esta de 4, por lo que me indica que estoy próximo a encontrar una expresión matemática.

Tabla cuando x=1 y a=5 |   |   |
n | tn | Sn |
0 | 1,000000 | 1,000000 |
1 | 1,609438 | 2,609438 |
2 | 1,295145 | 3,904583 |
3 | 0,694819 | 4,599402 |
4 |0,279567 | 4,878969 |
5 | 0,089989 | 4,968958 |
6 | 0,024139 | 4,993096 |
7 | 0,005550 | 4,998646 |
8 | 0,001117 | 4,999763 |
9 | 0,000200 | 5,000E+00 |
10 | 0,000032 | 5,000E+00 |
 Total | 4,999995 | 4,695E+01 |

Definitivamente existe un patrón y la expresión que quiero sacar tiene que estar relacionada con las varias asíntotas encontradas y a y x relacionadas de alguna manera.

Comose puede observar en las respectivas tablas y gráficos, hay ciertos patrones que se pueden encontrar y lo mas importante de todo, es que en cada grafico se puede ver que hay asíntotas, lo que sugiere y nos dice que, tomando de ejemplo al gráfico superior, los términos se detienen en un determinado valor, que en este caso es 5, con lo que se puede concluir que a pesar de que la serie sea infinita,tiene un límite finito, lo que la convierte en una serie convergente.

Por lo tanto, se puede determinar que el valor de la asíntota lleva el valor de : ax, aunque por ahora solo cuando x es constante (valiendo 1 en este caso) pero se vera más adelante si esta formula general cambia o no.
Viendo cada gráfico, se puede encontrar un patrón, ya que se puede observar que la asíntota toma elvalor de “a”, por lo tanto si haríamos otra tabla y gráfico cuando a=6, la asíntota saldría en 6 (gracias a los patrones vistos previamente).

Tomando como guía que a=2 y que x puede tomar cualquier valor, puede haber la posibilidad de encontrar más asíntotas y hacer de esta formula una formula más general todavía, por lo tanto se puede determinar que mientras una de las dos variables sea...