Trabajo virtual

Principio de los Trabajos Virtuales

Estructuras II

PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES
El Principio de los Trabajos Virtuales se expresa diciendo:
“Para una deformación virtual infinitamente pequeña de un cuerpo que se
encuentra en equilibrio, el trabajo virtual de las fuerzas exteriores es igual al
trabajo virtual interno de deformación”
Válido cualquiera sea la ley del estado detensiones y su relación con las
deformaciones.
Es conveniente, antes de pasar al análisis general del principio, considerar algunos
términos de la definición:
•

•
•
•

En primer lugar estamos considerando un cuerpo en equilibrio, al que con
posterioridad se le provoca una deformación. Dicha deformación es arbitraria y
posible, compatible con las condiciones de vínculo, pero que noproviene de las
cargas originales en el cuerpo.
Las cargas externas multiplicadas por esos desplazamientos arbitrarios
representan el trabajo virtual de las fuerzas exteriores, Ae.
Los esfuerzos internos generados por las cargas en equilibrio originales,
generan trabajo debido a la deformación virtual impuesta, dando origen al
trabajo virtual interno de deformación, Ai.
El Principio de TrabajosVirtuales puede entonces expresarse sintéticamente
como:

Ae = Ai
Consideremos ahora el caso de una estructura plana con barras resistentes a flexión
sometido a un sistema de cargas
reacciones de vínculo exteriores.

Pm

en su plano, siendo

C

las correspondientes

Para este sistema en equilibrio se desarrollan esfuerzos internos
manera que existe equilibrio entre la acción internay la externa.

M , N,Q ,

de tal

Sometemos al sistema a una deformación virtual, por lo que los puntos de aplicación de
las cargas Pm y C , sufrirán desplazamientos δm y Δc (si existen corrimientos de
apoyos) en la dirección de las mismas. Por lo tanto el trabajo virtual de las fuerzas
externas estará dado por:

Ae = ∑ Pm δ m + ∑ C Δ c

(1)

Para expresar el trabajo virtualinterno de deformación, es decir el trabajo de los
esfuerzos internos ( M , N , Q ) debido a la deformación virtual a que sometimos al
sistema, consideramos un elemento de una barra dx de altura h.

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La deformación virtual provocará, un desplazamiento relativo de las dos secciones del
elemento que podrá expresarse por unatraslación y una rotación dϕ. La traslación la
podemos considerar compuesta por dos componentes; una a lo largo del eje de la
barra Δds y otra normal Δdn. (Figura 1).

Δdn

h
Δds
dx

dϕ
Figura 1

El trabajo diferencial de las fuerzas internas que actúan sobre el elemento dx será:

dAi = Mdϕ + N Δds + Q Δdn

(2)

La integración de esta expresión a toda la estructura representa eltrabajo virtual de
deformación Ai.
Supongamos que la deformación virtual fue provocada por un sistema de cargas
exteriores que incluye variación de temperatura, y que genera esfuerzos internos que
designaremos como M, N y Q. Admitimos que la temperatura varía linealmente con la
altura h de la sección transversal como se indica en la figura 2.
ΔT

T1

CG

h

dϕ (+) = αΔT dx
h

TcT2

dx

αΔT dx
αTc dx = Δds

Figura 2

Donde definimos con T1 y T2 a las temperaturas de la fibra superior e inferior
respectivamente, Tc la temperatura correspondiente al centro de gravedad de la
sección y ΔT = T2 – T1.

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Observamos que la temperatura genera deformaciones Δds y dϕ en la sección.
Con estascondiciones resultan para las deformaciones:

⎛ M ΔT ⎞ ⎫
α ⎟dx
dϕ = ⎜
+
EJ
h ⎠⎪
⎝
⎪
⎛N
⎞⎪
Δds = ⎜
+ αTc ⎟dx ⎬
⎝ EA
⎠⎪
Q
Δdn = χ
dx ⎪
⎪
GA
⎭

(3)

Donde:
α:

coeficiente de dilatación térmica

A:

Sección transversal de la barra

J:

Momento de Inercia

E:

Módulo de elasticidad

G:

Módulo de elasticidad transversal

χ:

Coeficiente de forma que tiene...