Trabajo
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Campos de pendientes
x(t) soluci´n de x = f (t, x) o pendiente de la recta tangente a la gr´fica de x = x(t) en el punto a (t0 , x0 ), es f (t0 , x0 ). Campo de pendientes de la ecuaci´n: Gr´fica que se obtiene al dio a bujar en numerosos puntos (ti , xi ) laspendientes dadas por f (ti , xi ).
Ejemplo
x =x −t
−1.5 −1 −0.5
1.5
1
2
0.5
0.5
1
1.5
−0.5
(t, x) (−1, 1) (−1, 0) (−1, −1)
f (t, x) 2 1 2
(t, x) (0, 1) (0, 0) (0, −1)
f (t, x) 1 0 1
(t, x) (1, 1) (1, 0) (1, −1)
2
f (t, x) 0 −1 0
−1
−1.5
Campos de pendientes generados por ordenador
Un ordenador puede producir un campo con multitud de pendientesen un instante:
4 3 2 1
incluyendo algunas curvas:
4 3 2 1
x
x
−4
−3
−2
−1 −1 −2 −3 −4
1
2
3
4
t
−4
−3
−2
−1 −1 −2 −3 −4
1
2
3
4
t
Campo de pendientes de la ecuaci´n x = x 2 − t generado o por ordenador.
Algunas curvas soluci´n de o x = x 2 − t producidas mediante aproximaci´n o num´rica por un ordenador. ehttp://math.rice.edu/∼dfield/dfpp.html
3
Campos de pendientes de ecuaciones aut´nomas o
Ecuaci´n aut´noma: x (t) = f (x) o o x = 4x(1 − x) Dos soluciones de equilibrio: x = 0 y x = 1. x > 0 para 0 < x < 1 y x < 0 si x > 1 o x < 0.
3 2 2.5 2 1.5 1 1 0.5 1.5
0.5
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2 −0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2 −0.5 −1
0.2
0.4
0.60.8
1
−1
−1.5 −2
−1.5
−2
Algunas gr´ficas de las soluciones a de la ecuaci´n x = 4x(1 − x) o superpuestas sobre su campo de pendientes.
4
Gr´fica de cuatro soluciones de a una ecuaci´n aut´noma. Cada o o una de ellas se obtiene de otra traslad´ndola hacia la derecha o a hacia la izquierda.
An´lisis anal´ a ıtico versus cualitativo
x =e
x2 10
sen2 x.
Soluciones deequilibrio: x = nπ, n = 0, ±1, ±2, . . . Separando variables e integrando: dx = dt, 2 x e 10 sen2 x x > 0 para todo x = nπ.
4 3
2
1
−3
−2
−1 −1
1
2
3
−2
Campo de pendientes y gr´ficas a de dos soluciones de la ecuaci´n o x2 aut´noma x = e 10 sen2 x junto a o dos soluciones de equilibrio.
−3
−4
5
Diagramas de Fase
4 3 2
4 3 2
x=1 x=0
−2 −1.5 −1 −0.5
1x=1 x=0
0.5 1 1.5 2
−2 −1.5 −1 −0.5
1
0.5 −1
1
1.5
2
−1 −2 −3 −4
−2
−3
−4
L´ ınea de fase para la ecuaci´n o x = x(x − 1) con su campo de pendientes
Soluciones de equilibrio de la ecuaci´n x = x(x − 1) y algunas o soluciones
Definici´n o Diagrama o l´ ınea de fase para la ecuaci´n aut´noma x = f (x): o o recta vertical donde se dibujan los puntos deequilibrio, y dem´s puna tos donde se produce un cambio de signo de f (x), y el crecimiento o decrecimiento de la soluci´n de la ecuaci´n mediante flechas que o o apuntan hacia arriba o hacia abajo, respectivamente.
6
¿C´mo dibujar diagramas de fase? o
Dibujamos la l´ ınea x, vertical. Buscamos los puntos de equilibrio de la ecuaci´n; es decir, los o puntos para los que f (x) = 0;, y los marcamossobre la recta x. Buscamos los intervalos de los valores de x para los que f (x) > 0, y dibujamos flechas que apunten hacia arriba en dichos intervalos. Buscamos los intervalos de los valores de x para los que f (x) < 0, y dibujamos flechas que apunten hacia abajo en dichos intervalos
x=2
x=π
x=π/2 x=0
x=0
x=−3
x=−π/2 x=−π
x = (x − 2)(x + 3),
x = sen x
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x = x cos x¿C´mo usar las l´ o ıneas de fase para esbozar soluciones?
Caso 1: Condici´n inicial entre dos puntos de equilibrio. o
Ejemplo
Esbozo de la gr´fica de la soluci´n de la ecuaci´n a o o dw dt = (2 − w ) sen w con la condici´n inicial w (0) = 0,4. o Puntos de equilibrio: w = 2 y w = kπ para k = ±1, ±2, . . .. Como w (t) = 0 y w (t) = 2 son soluciones de equlibrio y 0 < 0,4 < 2, por el teorema de...
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