Trabajo

8.3. Series de términos cualesquiera
8.3.1. Series alternadas: criterio de Leibniz
Proposición 8.3.1 (criterio de Leibniz). Sea ∑
∞
n=1
xn una serie alternada, es decir, una serie tal
que paracada n ∈ N es xn = (−1)
n+1
an con an ≥ 0. Si (an) es una sucesión no creciente con límite
0, entonces la serie ∑
∞
n=1
xn = ∑
∞
n=1
(−1)
n+1
an es convergente. Además, denotando con sn lasuma
parcial n-ésima de la serie y con s su suma, se verifican para todo n ∈ N las desigualdades
0 ≤ (−1)
n
(sn+2 − sn) ≤ an+1, (8.1)
0 ≤ (−1)
n
(s − sn) ≤ an+1. (8.2)
Nota. De (8.1) se sigueque las sumas de orden par forman una sucesión no decreciente y las sumas
de orden impar una sucesión no creciente. Las desigualdades (8.2) pueden interpretarse del siguiente
modo: si tomamos sn comovalor aproximado de s, el error que cometemos es menor o igual que
an+1, de modo que si (an) converge rápidamente a 0 obtenemos una buena aproximación de la suma
mediante una suma parcial de pocostérminos.

Demostración. Obsérvese que dado k ∈ N, la diferencia
−(s2k+1 − s2k−1) = a2k − a2k+1
es mayor o igual que 0 por ser (an) decreciente, y menor o igual que a2k por ser a2k+1 ≥ 0, lo queda (8.1) en el caso n = 2k − 1. Para n = 2k es
s2k+2 − s2k = a2k+1 − a2k+2,
que análogamente es mayor o igual que 0 y menor o igual que a2k+1, lo que completa la prueba de (8.1)
para todos loscasos. Además, hemos obtenido que (s2k) es una sucesión no decreciente. Como
s2k = a1 − [(a2 − a3) + ··· + (a2k−2 − a2k−1) + a2k] ≤ a1,
(s2k) está acotada superiormente, luego es convergente. Sea s sulímite. Puesto que
s2k−1 = s2k + a2k
y a2k → 0, resulta que
l´ım
k
s2k−1 = l´ım
k
(s2k + a2k) = l´ım
k
s2k + l´ım
k
a2k = s + 0 = s.
Es decir: tanto la subsucesión de términos pares como lade términos impares de (sn) son convergentes
con límite s. Esto permite afirmar que (sn) es convergente con límite s, es decir, que ∑
∞+
n=1
xn = s.
Finalmente, puesto que para cada n ∈ N es
s...