trabajo


Historia
El teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se esto no es cierto para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sinembargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.
Demostraciones
El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos.Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "Magíster matheseos".Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostracionesen cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.
El "Chou Pei" es una obra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque se acepta mayoritariamente que fue escritaentre el 500 y el 300 a. C. Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al "Chui Chang" parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.El 2Chou Pei" demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.


Sea el triángulo rectángulo de catetos A y B e hipotenusa C. Se trata de demostrarque el área del cuadrado de lado C es igual a la suma de las áreas de los cuadrados de lado A y lado B. Es decir:




Demostraciones supuestas de Pitágoras

Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.1
Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina lossegmentos a’y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.
Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes
De la semejanza entre ABC y AHC:
y dos triángulos son semejantes sihay dos o más ángulos congruentes.



De la semejanza entre ABC y BHC:


Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

Pero , por lo que finalmente resulta:









Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos

El descubrimiento de los números irracionales por Pitágoras y los Pitagóricos supuso un contratiempo muyserio.4 De pronto, las proporciones dejaron de tener validez universal, no siempre podían aplicarse. La demostración de Pitágoras de su teorema se basaba muy probablemente en proporciones, y una proporción es un número racional. ¿Sería realmente válida como demostración? Ante esto,Euclides elabora una demostración nueva que elude la posibilidad de encontrarse con números irracionales.El eje de sudemostración es la proposición I.475 de Los Elementos:

En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.

Euclides (proposición I.47)

Basándose en la proposición I.412 de Los Elementos, que equivale a decir que a igual base y altura, el área del paralelogramo dobla a la del triángulo,...