trabajo

Geometría.
Secciones Cónicas. Definiciones.



Primero aclaramos qué entendemos por cono.
Dadas dos rectas, una que denotamos con la letra e y denominamos eje del cono, y otra que denotamos con la letra g y denominamos generatriz del cono, que no son perpendiculares. Un cono de eje e y generatriz g es el conjunto de puntos obtenidos al rotar la generatriz alrededor del eje:Hemos añadido elementos adicionales al cono:
La recta g’, una de las rectas obtenidas al rotar g alrededor de e. Toda recta obtenida por la rotación de g alrededor de e se llama así mismo generatriz del cono.
V, el vértice del cono, es el corte de dos generatrices de éste o de una generatriz con el eje.
El ángulo que el eje forma con cualquier generatriz se denota con la letra griegaa y nos referiremos a éste como el ángulo del cono.
Un cono tiene dos ramas, la que consta de los puntos por encima del vértice y la de los puntos por debajo.

Como su nombre lo indica, secciones cónicas son las obtenidas al seccionar un cono, es decir cortarlo con un plano que denotamos con la letra p. El ángulo formado por el plano p y el eje e se denota con la letra griega b.
Sonvarias las secciones cónicas.
Si el plano con el que se secciona el cono pasa por V:
1. Si el plano p pasa por el punto V:
1.1. El ángulo b es mayor que a pero menor que p - a: En este caso el corte de p con el cono es el punto V.





1.2. Los ángulos a y b son iguales. En este caso la sección cónica es una generatriz.



1.3. 0 < b < a. En este caso la sección cónicason dos rectas que se cortan en V, de hecho dos generatrices. En la siguiente figura, en la que se ilustra la intersección del plano p con el cono, se denota con g1 y g2 las dos generatrices que componen la sección cónica en este caso.



2.- El plano p no pasa por V.
2.1. b = En este caso la sección cónica es una circunferencia con centro en el eje del cono.




2.2. a < b. Eneste caso la sección cónica toca todas las generatrices en exactamente un punto, la curva es cerrada y se denomina elipse.



Para la elipse denotamos con A y A’ a los puntos de la sección cónica más cercano y más lejano, respectivamente, a V. Estos puntos se denominan vértices de la elipse.

2.3. a = b. En este caso el plano p es paralelo a una de las generatrices y, por lo tanto, nola interfecta. La sección cónica describe una curva no cerrada que se denomina parábola.



El punto de la parábola más cercano a V, ése que denotamos en la figura con la letra A, se denomina vértice de la parábola.

2.4. b < a. En este caso el plano p corta ambas ramas del cono y en cada una describe dos curvas abiertas. La curva en este caso se denomina hipérbola.



Como anteslos puntos A y A’ son los vértices de la hipérbola y los más cercanos a V en cada rama del cono.

La recta que pasa por los vértices de la elipse y la hipérbola se denomina eje de la sección cónica. El eje de la parábola, que sólo tiene un vértice, es la recta del plano p que pasa por el vértice A y forma con el eje del cono el ángulo a = b.

Las secciones que más nos interesan son,por supuesto, la elipse, la parábola y la hipérbola.
En clase se probó, en los casos elipse e hipérbola, la existencia de dos esferas tangentes al cono y al plano p y en el caso de la parábola sólo una esfera.
Para la elipse y la hipérbola las dos esferas inscritas en el cono son tangentes al plano que secciona el cono en dos puntos que denotamos con F y F’ y que denominamos focos de laelipse y la hipérbola respectivamente. Ver figura ilustrativa:



El foco de la parábola es el punto en que la esfera inscrita en el cono es tangente al plano p. En la figura que se muestra a continuación, este punto se denota con la letra F.



Todavía nos falta definir las directrices de cada una de estas tres secciones cónicas. La elipse y la hipérbola tienen dos directrices,...