trabajo

Sistemas de Fuerzas – Equilibrio de Partículas

Estática

Adición de sistemas de fuerzas coplanares
Ejemplo: Determine magnitud y orientación de la fuerza resultante
a) Notación escalar:
∑Fx = Rx
Rx = 600 (cos 30) – 400 (sen 45)
Rx = 236.8 N
∑Fy = Ry
Ry = 600 (sen 30) +400 (cos 45)
Ry = 582.8 N
La magnitud de la fuerza resultante = FR = ((236.8 2 + 582.8 2) ½
El ángulo de direcciónθ será: θ = tan -1 Ry/ Rx =(582.8 / 236.8) = 67.9°
b) Notación Vectorial
Expresando cada fuerza como un vector cartesiano resulta:
F1 = 600 cos 30° i + 600 sen 30° j
F2 = - 400 sen 45° i + 400 cos 45° j
Asi la fuerza resultante sera:
FR = (600 cos 30°- 400 sen 45°) i + (+ 600 sen 30°+ 400 cos 45°) j
FR = (236.8 i + 582.8 j)
Vectores cartesianos
Todas las operaciones del algebra vectorialaplicadas a la solución de problemas en tres dimensiones se
simplifican mucho si primero los vectores se expresan de forma cartesiana. Para el desarrollo de estas
operaciones se considera un sistema derecho de coordenadas en el cual el eje z siempre esta hacia arriba
(cenit) y al cerrar la mano los dedos indiquen la parte positiva de los ejes X y Y. Las componentes
rectangulares de un vector entres dimensiones podrán obtenerse mediante una aplicación sucesiva de la
ley del paralelogramo, por ejemplo el vector mostrado podrá resolverse en sus componentes A = (A’ +
Az) ; A’ = Ax + Ay. De modo que A= Ax +Ay + Az el que puede ser expresado como vector cartesiano a
través de los vectores unitarios cartesianos quedando que A= Ax i+Ay j + Az k.

Sistema derecho de coordenadasComponentes de vectores

La magnitud de este vector será A =( Ax +Ay + Az) ½
La dirección se define por los ángulos directores coordenados (Cosenos directores) donde
Cos α= (Ax/A) Cos β= (Ay/A) Cos γ= (Az/A)

Ing. Sergio Navarro Hudiel

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Sistemas de Fuerzas – Equilibrio de Partículas

El vector unitário de direccion de A de manera vectorial será:
UA = (Ax/A) i + Ay/A) j + Az/A) kUA = cos α i + cos β j + cos γ k
De estas ecuaciones se deduce que: (cos α)2 + (cos β)2 + (cos γ)2 = 1
De manera general si se conocen los ángulos directores y la magnitud de A, este puede expresarse en
forma vectorial como:
A = A UA
A = A cos α i + Acos β j + Acos γ k
La fuerza resultante será el vector suma de todas las fuerzas en el sistema
FR = ∑Fx i+ ∑Fy j+ ∑Fz k
Ejemplos
1. Determinela magnitud y los ángulos directores de la fuerza resultante.

FR = F1 + F2
FR = (60 j + 80 k) + ( 50 i – 100 j + 100 k)
FR = (50 i – 40 j + 180 k) lb
La magnitud de la fuerza resultante será:
FR = ((50) 2 +(– 40) 2 + (180) 2) = 191 lb
Los cosenos directores se encuentran de las componentes del vector unitario
UFR = (FR/FR)= (50/191 i – 40/191 j + 180/191 k) lb
De manera que:
cos α =50/191 por tanto α = 74.8°
cos β = – 40/191 por tanto β = 102 °
cos γ = 180/191 por tanto γ = 19.6 °

Ing. Sergio Navarro Hudiel

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Sistemas de Fuerzas – Equilibrio de Partículas

2. Exprese la fuerza como vector cartesiano

Se calculara el ángulo faltante:
(cos α)2 + (cos β)2 + (cos γ)2 = 1
cos α = ( 1- (cos 60) 2 – (cos 45) 2) 1/2
α = cos -1 ±0.50
De manera que α es 60° ó120°, del cual se toma 60° ya que Fx esta en la dirección positiva (Plano xy).
Usando la fuerza actuante se tiene que:
F = F cos α i + Fcos β j + Fcos γ k
F = (200 cos 60°) i + (200 cos 60°) j + (200 cos 45°) k
F = (100 i + 100 j + 141.4 k) N
Esta fuerza puede comprobarse de manera que
F = ((100 2 + 100 2 + 141.4 2) 1/2) = 200 N
3. Exprese la fuerza como vector cartesiano

Los ángulos de60º y 30º no son ángulos directores ya que están notados desde las proyecciones y no de
los ejes. Mediante una aplicación sucesiva de la ley del paralelogramo se podrá obtener las
componentes.
F’ = 4 cos 30° = 3.46 kN
Fz = 4 sen 30° = 2 kN
Luego descomponemos F’
Fx = 3.46 cos 60° = 1.73 kN
Fy = 3.46 sen 60° = 3 kN
Por tanto, F = (1.73 i + 3 j + 2k)

Ing. Sergio Navarro Hudiel...