trabajo

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DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA

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TRABAJO DE ALGEBRA (Global 2013)
Sea (V, +, ·) un espacio vectorial sobre R con base B = {v1 , v2 , v3 } y, para cada a, b ∈R, el endomorfismo
f : V → V tal que, respecto de la base B, satisface:
f ( v2 ) ⊆ v2

f (v3 − v1 ) = (b − 1)v2

v3 ∈ f −1 ({(b − a)v1 + bv2 + (b − a)v3 })

Se pide, en funci´n de los valores dea, b ∈ R:
o
i) calcular la matriz asociada a f respecto de la base B y dar una base del espacio Im(f ).
ii) calcular la imagen rec´
ıproca por f del conjunto {bv2 }, estudiando en que casosresulta un subespacio.
iii) dada la variedad vectorial E tal que, respecto de la base B, satisface x = 1, z = 0, obtener las ecuaciones
impl´
ıcitas de f (E).
iv) estudiar el car´cter diagonalizable def ; dar la matriz diagonal cuando exista, junto con la base en que se
a
obtiene ´sta.
e
v) discutir si, con a = b, puede existir un subespacio W ⊆ V de dimensi´n 2 que sea invariante por f (W seo
dice invariante por f si, por definici´n, satisface que f (W ) ⊆ W ).
o
vi) en el espacio vectorial eucl´
ıdeo (V, ), donde V es el espacio de partida y la matriz de matriz de Gram
del poductoescalar , respecto de la base B, es


5 0 0
G= 0 3 1 
0 1 1
se pide:
1. calcular el subespacio ortogonal a av3 .
2. discutir si, en el caso a = b, f es una transformaci´n ortogonal.
oObservaciones:
1. Los estudiantes que, habiendo obtenido nota inferior a 4 en alguno de los dos trabajos anteriores, aprueben
los test te´ricos y la prueba de problemas de enero, pueden optar arealizar este trabajo.
o
2. En la portada del documento que se redacte (usando obligatoriamente un editor de texto) debe constar
el nombre completo del estudiante que lo realiza. Tambi´n puederealizarse en grupo (respetando la
e
composici´n de los grupos de trabajo dirigido ya constitu´
o
ıdos para los trabajos anteriores), en cuyo caso
deben constar los nombres completos de todos los...