Trabajo

EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS
1. Comprueba, dando valores a x, que la función x2 4 f(x) tiende a 4, cuando x tiende a 2. x 2
Solución Solución

Para que no exista el límite de una función en un punto, los límites laterales en dicho punto han de ser distintos. Buscamos, por tanto, aquellos puntos en donde los límites laterales son distintos. En el punto x En x
x→ 2

Para valores de xmayores de 2:
x 2

2,1 4,1

2,01 4,01

2,001 4,001

2,0001 4,0001

f(x)

2, lím f(x)
x→2

4 y lím f(x)
x→2

0. 3. 4. 1.

Para valores de x menores de 2:
x 2

2, lím f(x) 3, lím f(x)
x→ 3

0 y lím f(x)
x→ 2

1,9 3,9

1,99 3,99

1,999 3,999

1,9999 3,9999

En x En x

3 y lím f(x)
x→ 3

f(x)

Por tanto, lím
x→2

x2 x

4 2

4, lím f(x)
x→ 4

4 y límf(x)
x→ 4

4.

2. (Selectividad. Andalucía, 1997). Dada la gráfica de la función:
Y 6 5 4 3 2 1 y x 1

4. Utilizando la gráfica de la función f(x), calcula los puntos de en donde la función tiene por límite ∞ o ∞.
Y 5 3 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

X

3

1

1 2 4

3

5

X

a) Obtén los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Obtén los puntos en losque f(x) es discontinua. c) Obtén los valores de: lím f(x); lím f(x); lím f(x).
x→0 x→7 x→ ∞

Solución

Solución

a) De la observación de la gráfica se deduce que la función es creciente en el intervalo (0, 7) (10, 14) y decreciente en (7, 10) (14, 15) (15, ∞). b) Es discontinua en x 10 y x 15. c) El límite cuando «x tiende a 0» sólo puede considerarse cuando «x tiende a 0 por la derecha»y es lím f(x) ∞. Por otro lado, se cumple: x→0 lím f(x) 6 y lím f(x) 0
x→7 x→ ∞

Los posibles puntos en donde la función puede tener por límite ∞ o ∞ son los puntos x 2 y x 2. A partir de la gráfica determinamos los límites laterales para cada uno de los puntos. lím f(x)
x→2

∞

y

lím f(x)
x→2

4

Como los límites laterales son distintos, no existe, por tanto, lím f(x).
x→2

3.Determina, utilizando la gráfica de la función f(x), los puntos de donde no existe límite de la función.
Y 3 1 5 3 1 1 2 4 3 5 X

Para el punto x lím f(x)
x→ 2 x→ 2

2: 4 y lím f(x)
x→ 2

∞

luego, no existe lím f(x). No existe ningún número real en donde la función f(x) tenga por límite ∞ o ∞. 5. Dada la gráfica de la función f(x), calcula los límites siguientes:

132

a) lím f(x)x→

∞

Y 5

b) lím f(x)
x→2 x→0

7. Calcula lím
x→1

3x2 5x3

2x 2x

1 . 7

c) lím f(x) d) lím f(x)
x→ 4

Solución
1 6 2 1 3 3 5 X

e) lím f(x)
x→ 6 x→

f) lím f(x)
∞

Aplicando la propiedad del límite de un cociente, aparece la indeterminación 0/0. Para resolverla, factorizamos los polinomios del numerador y del denominador y simplificamos. P(x) Q(x) 3x 2 5x 3 3x 25x 3 2x 2x 1 7 (x (x 1)(3x 1) 1)(5x 2 5x 7)

Solución

a) Cuando x tiende a ∞, f(x) tiende a 0, luego: lím f(x) 0
x→

Sustituyendo: lím
x→1

∞

b) Determinamos los límites laterales de f(x) en x 2: lím f(x) ∞ y lím f(x) 1
x→2 x→2

2x 2x

luego no existe el límite de f(x) en el punto x 2. c) Observamos que cuando x tiende a 0, f(x) tiende a 3, luego: lím f(x) 3
x→0

(x 1)(5x 25x 3x 1 4 lím x→1 5x 2 5x 7 17
x→1 x→

1 7

lím

(x

1)(3x

1) 7)

8. Determina el valor de lím ( x2
∞

1

x).

Solución

d) Cuando x tiende a 4 por la derecha, la función tiende a 1, luego: lím f(x) 1
x→ 4

Cuando x tiende a ∞ ∞.

∞ aparece la indeterminación

Multiplicamos numerador y denominador por la expresión radical conjugada.
x→

e) Determinamos los límiteslaterales de la función en el punto x 6. lím f(x) ∞ y lím f(x) ∞
x→ 6

lím ( x 2
∞

1
∞

x) 1 x
2

luego, lím f(x)
x→ 6

∞.
x→

x→ 6

x→

lím

( x2
2

x)( x 2 1
x→

1 x 1 x
2

x)

f) Al tender x a

∞, la función tiende a 0, luego:
lím f(x)
∞

0

x→

lím

x

1
2

x 1

2

∞

x

x 1

lím

∞

1

x

6. (Selectividad. Cataluña,...