trabajo

Diagonalización ortogonal

Definición.
Una matriz Pnxn se dice ortogonal, si sus columnas forman una base ortonormal de IRn.

Si An = es ortogonal, las columnas de al ser multiplicadasescalarmente

entre sí resulta: (ai1 ... ani) = a1i a1j + ... + ani anj = , de donde

AtA = = = In, pues para cada 1 i, j  n la

entrada i, j del producto AtA es igual a (ai1 ...ani) , es decir: 1, si es una entrada

i, i en la diagonal y 0, si es una entrada i, j fuera de la diagonal (i  j). Se concluye que una matriz es ortogonal, si y sólo si es invertible (laimplicación que falta es fácil de probar) y su inversa es su traspuesta. Otra conclusión es que, así como las columnas de una matriz ortogonal forman una base ortonormal de IRn, las filas forman otra baseortonormal de IRn

Ejemplos:

i) In = es una matriz ortogonal. Sus columnas forman la base canónica de IRn, de la cual sabemos que es ortonormal.

ii) A = es otro ejemplo de matrizortogonal, para ver esto, basta

multiplicar A por su traspuesta y verificar que resulta la identidad 2x2.

iii) A = es una matriz ortogonal 3x3, pues AtA = I3x3.

iv) A = no es unamatriz ortogonal, pues aunque sus columnas son

ortogonales, no tienen norma uno.

Como ya sabemos, la diagonalización de una matriz Anxn depende de la existencia de una matriz diagonalizanteCnxn, con cuya inversa resulta el producto C-1AC es una matriz diagonal. La matriz diagonalizante C se construye encontrando una base de IRn formada por vectores propios de A y ubicando estosvectores propios como columnas de C.
Ahora bien, si esta base de IRn resulta ser una base ortonormal, entonces la matriz diagonalizante C es ortogonal y C-1AC se puede escribir CtAC, puespara matrices ortogonales, como vimos arriba, vale C-1 = Ct. Este tipo de diagonalización se denomina diagonalización ortogonal y la matriz A se dice ortogonalmente diagonalizable.

Ejemplo:...