Trabajo

Facultad de Ingeniería y Arquitectura

DERIVADA DE
UNA FUNCIÓN

MATEMÁTICA

Facultad de Ingeniería y Arquitectura

¡Interrogante!
Si el ingreso por ventas en una empresa viene dado por laexpresión:

1 3
v(t ) = t − 4t 2 + 12t + 30
3
donde t es el tiempo para los
próximos seis meses. Sin trazar la
gráfica de esta función, ¿Podemos
determinar en qué tiempo las
ventas seránmáximas o mínimas?

MATEMÁTICA I

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DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
En el mundo real los procesos económicos, físicos, demográficos y otros más, se
desarrollan en eltiempo, por lo que es de interés natural estudiar su tasa de cambio
respecto al tiempo.
En matemática, la pendiente de una recta, es una tasa o razón de cambio de la
variable “y” respecto de lavariable “x”. Luego, ¿Cómo determinamos la pendiente
de la recta tangente a la gráfica de la función y=x2 en x=1 ó x=2 ó en cualquier otro
punto?

MATEMÁTICA I

y

f ( x0 + h)

f ( x0 + h)
f (x0 )
h
x0 x0 + h
h

x0 + h

x

y

Tangente!!!

f ((xxf
00))

xx00

x

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Pendiente de la recta tangente
Note que:

f ( x0 + h ) − f ( x0)
mLS =
h

En el límite, cuando h → 0, la recta secante se confunde
con la recta tangente en x0, y podemos decir que:

f ( x0 + h ) − f ( x0 )
mLT = lim mLS = lim
h →0
h →0
h

MATEMÁTICAI

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Derivada de una función
Definición. Sea f una función con dominio D, donde D es un intervalo
abierto. Diremos que f es derivable en el punto a cuandoexiste el limite

f ( x) − f (a)
f ( a + h) − f ( a )
f ' ( a ) = lim
= lim
x→a
h →0
x−a
h
f ´(a) se llama la derivada de la función f en el punto a

Notación: f ´ ( x) = d f ( x) = y´ = dy
dx

MATEMÁTICA I

dx

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Propiedades de la derivada
1.

d
[k . f ( x)] = k. d f ( x)
dx
dx

2.

d
[ f ( x ) ± g ( x )] = d f ( x ) ± d g...