trabajo

Tema 6.- ESTABILIDAD EN SISTEMAS DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
Ampliación de Matemáticas.
Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

Índice General
1 Introducción

1

2 Sistemas autómonos. Plano de fases

2

3 Clasificación de los puntos de equilibrio en sistemas lineales

5

4 Estabilidad mediante linealización

12

5 Método directo de Liapunov17

1

Introducción

Hasta ahora, en el estudio de las ecuaciones diferenciales, nos hemos centrado en el problema de obtener soluciones, exponiendo algunos métodos de resolución de ciertos tipos de ecuaciones y sistemas
diferenciales.
En este tema vamos a dar otro enfoque al estudio de las ecuaciones y sistemas diferenciales, planteándonos ahora el obtener información cualitativa sobreel comportamiento de las soluciones. Este nuevo
enfoque tiene un interés obvio debido a dos razones fundamentales: muchas ecuaciones diferenciales no
las sabemos resolver e incluso, aunque se pudieran calcular sus soluciones, a veces no es necesario determinarlas explícitamente pues sólo se pretende conocer el comportamiento de las mismas (y puede ser
costosa la obtención de dichas solucionespara el estudio que se quiere realizar).
Vamos a ver un ejemplo en que se manifiestan estas ideas:
Consideremos que x1 (t) y x2 (t) representan las poblaciones, a lo largo del tiempo, de dos especies que
compiten entre sí por el alimento y el espacio vital limitados en su microcosmos. Supongamos que las
tasas de crecimiento de las poblaciones, x1 (t) y x2 (t), están gobernadas por un sistema deecuaciones
diferenciales

X0 (t) = f (t, X(t)) donde X(t) =

µ

x1 (t)
x2 (t)

¶

En la mayoría de los casos este sistema será de tal forma que no sabremos calcular sus soluciones,
esto es, no podremos obtener x1 (t) y x2 (t), que nos dirían el número de individuos de cada especie en
un tiempo t. Sin embargo, hay algunas propiedades de tipo cualitativo, que son interesantes y a lasque con frecuencia pueden darse respuestas satisfactorias sin necesidad de determinar explícitamente las
soluciones. Por ejemplo, consideremos las siguientes cuestiones:
1. ¿Hay valores para los cuales ambas especies coexisten en un regimen permanente? Es decir, ¿existen
números α, β tales que x1 (t) = α y x2 (t) = β son soluciones del sistema X0 (t) = f (t, X(t))? Si tales
valores existen seles llama valores (soluciones) de equilibrio o puntos críticos.
2. Supongamos que las dos especies coexisten en equilibrio, e introducimos en un momento t, algunos
miembros de una de las especies presentes en el microcosmos donde conviven. ¿Permanecerán las

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Tema 6. Estabilidad en sistemas de ecuaciones diferenciales. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.2poblaciones cerca de los valores de equilibrio para todo tiempo futuro?, es decir, si φ(t) es una
solución de equilibrio del sistema X0 (t) = f (t, X(t)), y ψ(t) es otra solución tal que φ(t0 ) está
próximo a ψ(t0 ), ¿se verificará que ψ(t) → φ(t) cuando t → +∞?.
3. Si conocemos el número de individuos de cada especie en un tiempo t0 , ¿Cuál será la evolución de
las especies cuando transcurre el tiempo?Si no tienden a valores de equilibrio, ¿triunfará una de
las especies?
Veremos, en este tema, que para responder a estas cuestiones no necesitamos resolver el sistema
X0 (t) = f (t, X(t)). Para ello, empezaremos en la siguiente sección definiendo los principales conceptos.

2

Sistemas autómonos. Plano de fases

Un sistema autónomo plano es un sistema de dos ecuaciones diferenciales dela forma
⎧
dx
⎪
⎪
⎪
⎨ dt = F (x, y)
⎪
⎪
dy
⎪
⎩
= G(x, y)
dt

(1)

donde supondremos que F y G son funciones continuas y con derivadas parciales de primer orden continuas
en todo el plano. En este caso, las funciones F y G se dicen de clase C 1 en todo R2 (F, G ∈ R2 ). Estas
condiciones sobre F y G garantizan la existencia y unicidad de solución, definida para todo t ∈ R, del...