trabajo

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA MECÁNICA






Tema: “Aplicaciones de la parábola y la elipse”

Curso: Geometría analítica y álgebra lineal

Integrantes:

Pachamango Rodríguez, Erick Junior
Villarreal Núñez, César Antonio

Profesor: Manuel Montalvo

Trujillo, 16 de agosto de 2010
I. La parábola y sus aplicaciones:
1. Informaciónprevia:
La parábola es una sección cónica, es decir, una curva de intersección de un plano con un cono circular recto de dos hojas. En particular, esta sección se origina cuando el plano es paralelo a la generatriz del cono.
Su definición analítica se centra un poco más en sus propiedades, y nos la presenta como el conjunto de todos los puntos de un plano equidistantes de un punto fijo y de unarecta fija. Al punto fijo se le llamará foco y a la recta fija, directriz.
Como último añadido mostraremos las partes de la parábola, pues la deducción de su ecuación, por medio de los vectores, ya ha sido hecha en clase.

2. Aplicaciones
2.1. En base a su propiedad óptica
Esta cualidad consiste en que cualquier onda que sea paralela al eje focal de la parábola será reflejada al foco deésta. De la misma manera, cualquier onda que salga del foco, será reflejada por la parábola de manera paralela al eje.

La demostración de esta característica es la siguiente:

Según la gráfica, tenemos el punto de tangencia P = (xi ; yi), el foco F = (p ; 0) y el punto Q = (a; 0), en donde la tangente forma un ángulo con el eje X congruente al que forma con la recta G, paralela al eje focal.También debemos suponer que la ecuación de la recta es:



Con estos datos, probaremos que los ángulos α y β son congruentes. Esto equivale a probar que el triángulo QPF es isósceles gracias a dichos ángulos. Partimos de la ecuación de la tangente como una recta cualquiera que pasa por P, para luego despejar x y reemplazarla en la parábola.




En consecuencia, acomodamos la ecuacióncuadrática para luego poder igualar su discriminante a cero (condición de tangencia). La pendiente de la tangente será despejada en base a la fórmula cuadrática.









Para simplificar la expresión de este valor encontrado, usaremos los datos que nos den las coordenadas de P cuando se reemplazan en la parábola:



Así, la pendiente toma el siguiente valor y latangente tomaría la forma a continuación.



Esto nos va a facilitar la obtención de la abscisa de Q = (a ; 0). Cabe recordar que este punto también pertenece a la parábola.





Las consecuencias serán esenciales para la parte final de la prueba. Obtendremos las longitudes de FP y QF.





Para QF:



Los módulos resultan tener el mismo valor,por lo que el triángulo que mencionamos anteriormente es isósceles. En consecuencia, α = β.
Esto prueba que los haces que se dirigen a la parábola en dirección paralela al eje focal, sí convergen en el foco de ésta.
Las aplicaciones prácticas son muchas: las antenas, satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptorcolocado en la posición del foco.
La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar.
Análogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poderenviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal.
2.2. En mecánica clásica y moderna
Se podrían citar varios casos en este apartado, pero nos centraremos en los que más explícitamente incluyan a la ecuación de la parábola.
Galileo Galilei desarrolló, en su tiempo, las bases necesarias para el estudio analítico del movimiento parabólico. Es así, que al lanzar un cuerpo...