Trabajo

Problema 1: Feu un estudi el més complet possible de la funció: x2 f(x) = x −1 → Domini:

{}

Problemes

lim → Asímptotes horitzontals: x →∞ f(x) = ∞ . Per tant, no en té.
→ Asímptotesverticals: lim f(x) = −∞ lim+ f(x) = +∞ −
x →1
x →1

Per tant, x = 1 és una asímptota vertical. f(x) x = lim =1 → Asímptotes obliqües: m = lim x →∞ x x →∞ x − 1 2  x  x n = lim ( f(x) − x ) = lim  − x = lim =1 x →∞ x →∞ x − 1   x →∞ x − 1 Per tant, y = x + 1 és una asímptota obliqua.
1 2

• Estudi de la variació de la funció: 2x(x − 1) − x 2 x 2 − 2x f '(x) = = 2 2 ( x − 1) ( x − 1)

f''(x) =

(2x − 2)(x − 1)2 − (x 2 − 2x) ⋅ 2(x − 1)

( x − 1)

4

=

2

→ Extrems de la funció: màxim relatiu a (0,0) i mínim relatiu a (2,4). 2 Per tant: f ''(x) = 3 ( x − 1)
3

( x − 1)2

( −∞,1) f és còncava i (1, +∞ ) f és convexa.
→ No té punts d’inflexió. → Només talla els eixos al punt (0,0). → La seva gràfica és:

→ Traiem x factor comú a f’: f '(x) =

x(x − 2)

( x −1)
+ 2

→ Com que el denominador no és mai negatiu:
f’ f + 0 1 -

→ Per tant: ( −∞, 0 ) ∪ ( 2, +∞ ) f és creixent.

( 0,1) ∪ (1, 2 ) f és decreixent.
3 4

1

Problema 2: Feu un estudiel més complet possible de la funció següent, sabent que y = 0 és una asímptota horitzontal per -∞:
y=x+1

f(x) = x ⋅ e x
→ Domini: → Asímptota horitzontal per +∞: lim f(x) = +∞
x →+∞

Per tant,no en té. → Asímptotes verticals: no en té. → Asímptotes obliqües: no en té

5

6

• Estudi de la variació de la funció:

f '(x) = e x + x ⋅ e x = (1 + x) ⋅ e x f ''(x) = e x + e x + x ⋅ e x= (2 + x) ⋅ e x
f’ f -1 +

→ Per tant: ( −∞, −1) f és decreixent,( −1, +∞ ) f és creixent. → ( −1, −e −1 ) és un mínim relatiu. → ( −∞, −2 ) f és còncava i ( −2, +∞ ) f és convexa. → ( −2, −2e −2 )és un punt d’inflexió. → Només talla els eixos al punt (0,0). → La seva gràfica és:
7 8

2

Problema 3: Feu un estudi el més complet possible de la funció: x f(x) = 2 x +1 → Domini:

f...