trabajo

Sistemas de ecuaciones lineales homog´
eneas
Objetivos. Estudiar sistemas de ecuaciones lineales homog´eneas (son aquellas ecuaciones
lineales que tienen constantes iguales a cero). Mostrar que la soluci´on general de estos
sistemas se puede escribir como una combinaci´on lineal de n − r vectores, donde n es el
n´
umero de las inc´ognitas y r es el n´
umero de los renglones no nulos en laforma escalonada.
Requisitos. Eliminaci´on de Gauss-Jordan, matrices escalonadas reducidas, o pseudoescalonadas reducidas, construcci´on de la soluci´on general de un sistema de ecuaciones
lineales.
Aplicaciones. N´
ucleo de una transformaci´on lineal.
1. Definici´
on (sistema de ecuaciones lineales homog´
eneas). Un sistema de ecuaciones lineales homog´eneas es un sistema de la forma Ax =0, esto es, con columna de
constantes nula.
2. Observaci´
on. Todo sistema de ecuaciones lineales homog´eneas es compatible, porque
el vector cero es una de sus soluciones, llamada soluci´on trivial. Para un sistema de
ecuaciones lineales hay dos casos posibles:
(a) puede ser compatible determinado, esto es, tener solamente una soluci´on (la trivial);
(b) puede ser compatible indeterminado,esto es, tener por lo menos una soluci´on no
trivial.
En cada ejemplo hay que determinar cu´al situaci´on tiene caso y describir el conjunto de
todas las soluciones.
3. Ejemplo. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales homog´eneas:

 3x1 − 2x2 + x3 + 4x4 = 0;
8x1 − 5x2 − 4x3 + x4 = 0; .

−2x1 + x2 + 6x3 + 7x4 = 0.
Soluci´on. La columna de constantes es nula y sigue siendonula al aplicar operaciones
elementales. Por eso no es necesario escribir la matriz aumentada, es suficiente trabajar
con la matriz de coeficientes.

 R2 += −8R1


1
−2/3
1/3
4/3
3 −2
1 4
1
R1 ∗= 3
R3 += 2R1
 8 −5 −4 1  −−
−5 −4
1  −−−
−−→  8
−−−−→
−2
1
6
7
−2
1
6 7


1
 0
0

1
 0
0







R1 += 23 R2

−2/3
1/3
4/3
1 −2/3 1/3 4/3
R3+= 1 R2
R ∗= 3
1/3 −20/3 −29/3  −−2−−→  0
1 −20 −29  −−−−−3−→
−1/3
20/3
29/3
0 −1/3 20/3 29/3

0 −13 −18
1 −20 −29  .
0
0
0
Sistemas de ecuaciones lineales homog´eneas, p´agina 1 de 4

Por ser un sistema de ecuaciones lineales homog´eneas, el sistema es compatible. Como
r = 2 y n = 4, es compatible indeterminado. Tenemos n − r = 2 variables libres. Los
pivotes est´an enlas columnas 1 y 2, por eso expresamos x1 y x2 a trav´es de las variables
x3 y x4 :
x1 = 13x3 + 18x4 ;
x2 = 20x3 + 29x4 .
Soluci´on general:



13x3 + 18x4
 20x3 + 29x4 
,
x=


x3
x4

x3 , x4 ∈ R.

Notemos que la soluci´on general se puede expandir en una combinaci´on lineal de dos
vectores constantes:




13
18
 20 
 29 



x = x3 
x3 , x4 ∈ R. 1  + x4  0  ,
0
1
Se dice que los vectores



13
 20 

u1 = 
 1 ,
0




18
 29 

u2 = 
 0 
1

son soluciones b´asicas de este sistema de ecuaciones. Hay que hacer la comprabaci´on para
los vectores u1 y u2 . La hacemos en forma matricial:



 13 18
3 −2
1 4 

 8 −5 −4 1   20 29 
 1 0 
−2
1
6 7
0 1

 

39 − 40 + 1 + 0
54− 58 + 0 + 4
0 0
=  104 − 100 − 4 + 0 144 − 145 + 0 + 1  =  0 0  .
−26 + 20 + 6 + 0 −36 + 29 + 0 + 7
0 0

Sistemas de ecuaciones lineales homog´eneas, p´agina 2 de 4

4. Ejemplo.

 −2x1 + 4x2 + 5x3 = 0;
5x1 + x2 − 3x3 = 0;

6x1 − x2 + 4x3 = 0.
Soluci´on.



−2
4
5
R ↔R2
 5

1 −3  −−1−−→
6 −1
4



1
9
7
R ∗= 2
 0
22
19  −−3−−→ 
0 −55 −38



5
1 −3
1
9 7
R2 += 2R1
R1 += 2R2
R3 += −6R1



−2
4
5 −−−−−−→ −2
4 5 −−−−−−−→
6 −1
4
6 −1 4



1
9
7
1 9 7
R += 5R2
 0 22 19  .
0
22
19  −−3−−−−→
0 −110 −76
0 0 19

Ahora la matriz del sistema es escalonada, y el n´
umero de los renglones no nulos es
r = 3 = n. Por eso el sistema es compatible determinado, esto es, la u
´nica soluci´on es la...