trabajo

LA PARÁBOLA

DEFINICIÓN
SHAPE \* MERGEFORMAT


Por ejemplo en la siguiente figura los puntos A, B, C y D pertenecen a la parábola


Ya que: AA’ = AF
BB’ = BF
CC’ = CF
DD’ = DF
ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA
Anteriormente mencionamos dos elementos muy importantes de la parábola: la directriz y el foco.
La siguiente figura nosmuestra otros elementos:


Eje de simetría: es la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz.
Divide a la parábola en dos partes simétricas pasando por el vértice.
Vértice: es el punto donde la parábola interseca a su eje de simetría.
Cuerda: segmento de recta que une dos puntos de la parábola. Si la cuerda pasa por el foco se llama cuerda focal.
Lado recto: es una cuerdafocal perpendicular al eje de la parábola.
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN
Siempre que se trate de deducir la ecuación de una curva es necesario observar cuidadosamente las propiedades que cumplen sus puntos. Para deducir la ecuación de la parábola tendremos en cuenta lo siguiente:
Dado el foco y su directriz, elegimos un sistema de coordenadas de tal manera que ladirectriz sea horizontal, el eje de simetría coincida con uno de los ejes coordinados (en este caso hemos escogido el eje y) y el origen esté a la mitad de la distancia entre el foco y la directriz. Llamamos p a la distancia entre el foco y el origen (p > 0), de modo que la distancia entre el origen y la directriz también es P.


Las coordenadas del foco son F(0,p) y la ecuación de la directriz esy = -p.
Por definición de la parábola si elegimos cualquier punto de ésta, P(x, y) la distancia de P(x, y) a su foco F(0,p) es igual a la distancia del punto P(x, y) al punto L(x,-p) (obsérvese que L(x,-p) es el punto que se utiliza para determinar la distancia perpendicular a la recta y =-p).
Utilizamos la fórmula de distancia para obtener:


Elevando al cuadrado a ambos lados tenemos:Realizando las operaciones obtenemos:

De donde concluimos:

La parábola de ecuación x2=4py abre hacia arriba si p > 0 y hacia abajo si p < 0, como lo indica la figura.




p > 0 p < 0

EJEMPLOS

1. Determinar el foco y la directriz de la parábola:


Para una parábola dada de la forma x2=4py sabemos que la ecuación de ladirectriz es y=-p y el foca es (0, p), por lo que necesitamos identificar p.

Podemos escribir la ecuación en la forma x2=4py despejando x2:

Comparamos esto con la ecuación x2=4py para identificar p
x2=4py
x2=-3y
vemos que 4p=-3
p=
por lo tanto el foco es F y la directriz es y=, la gráfica queda de la siguiente manera.

2. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice enel origen, cuyo foco es el punto F(O,3) y la directriz es paralela al eje x. Grafiquemos la parábola.
Como el foco está sobre el eje y (F(0,3)), y el vértice está en el origen, entonces:
La parábola correspondiente tiene la forma de la ecuación x2=4py con p=3, se tiene:

X2=4(3) y
X2=12y
Para graficar esta parábola, primero marcamos el vértice V(0,0) y luego colocamos otro par de puntossobre está:
Si y=3, entonces:
X2=12(3)
X2=36
X=±6
Así los puntos (6,3) y (-6,3) están situados sobre la parábola.

Ahora analicemos la parábola con vértice en el origen pero simétrica con respecto al eje x. El foco F(p,0) y la directriz x= -p como vemos en la siguiente figura.


Como en el caso de la parábola simétrica con respecto al eje y, podemos deducir la ecuación de laparábola simétrica con respecto al eje x Utilizando la fórmula de la distancia.


La parábola de ecuación abre hacia la derecha si p > 0 y hacia la izquierda si p < 0, como lo muestra la figura.


p > 0


P < 0

EJEMPLOS
1. Hallar el foco y la ecuación de la directriz de la parábola:

Para una parábola dada de la forma y2=4px sabemos que la ecuación de la directriz...