Trabajo

CONVOLUCION LINEAL Y CIRCULAR EN SISTEMAS DISCRETOS


Leonardo A. Flores Gutiérrez
leoespel2010@hotmail.com

Resumen: El producto o método de la convolución es una herramienta indispensable y fundamental en el análisis de sistemas discretos. Sirve entre otras cosas para regularizar funciones y, por medio de aproximaciones de la identidad, permite verificar resultados importantes dela transformada de Fourier discreta, estudiaremos los procedimientos para realizar la operación de convolución ya sea lineal o circular aplicando pasos que suponen una convolución para sistemas discretos.

PALABRA CLAVE
* Convolución.
* Convolución lineal y circular.
* Modulo mod.

1. INTRODUCCION
¿Qué es Convolución?
La convolución discreta, nos explica como dos señalesdiscretas x [n], la entrada del sistema, y h [n], la respuesta del sistema, se puede de_nir el resultado del sistema como:

y n= x n*h [n]

y n=K=-∞∞x[k] h [n- k]

Ec. (1)

Cuando dos DFT son dadas (secuencias de tamaño finito usualmente del tamaño N), nosotros no podemos multiplicar esas dos señales así como así, como lo sugiere la formula de arriba usualmente conocida como
convoluciónlineal.

Ya que las DFT son periódicas, tienen valores no cero para n≥N así la multiplicación de estas dos señales será no cero para n≥N.

Necesitamos definir otro tipo de convolución que dará como resultado nuestra señal convuelta teniendo el valor de cero fuera del rango n = 0,1,…,N-1.

Esto nos ayuda a desarrollar la idea de convolución circular, también conocida como convolución cíclicao periódica.

CONVOLUCIÓN LINEAL
Cuando se trata de hacer un procesamiento digital de señal no tiene sentido hablar de convoluciones aplicando estrictamente la definición ya que solo disponemos de valores en instantes discretos de tiempo. Es necesario, pues, una aproximación numérica.
Para realizar la convolución entre dos señales, se evaluará el área de la función:
xt*h[δ(n-t)]
Ec. (2)Para ello, disponemos de muestreos de ambas señales en los instantes de tiempo nt, que llamaremos x k y yn-k (donde n y k son enteros).El área es, por tanto,

Ec. (3)
La convolución discreta se determina por un intervalo de muestreo:
Ec. (1)
Ec.(4)
La Ec() que la respuesta y(n) del sistema discreto como función de la señal de entrada x (n) y de la respuesta impulsional h(n) se denominaconvolución.
Diremos que la entrada x n se convoluciona con la respuesta impulsional h(n) para producir la salida y(n).
1. Reflexión. Se refleja h(k) con respecto a k para producir h(– k).

2. Desplazamiento. Se desplaza h(– k), no muestras hacia la derecha si es positivo, para obtener h(no – k)

3. Multiplicación. Se multiplica x(k) por h(no – k) para obtener la secuencia productov(k) = x(k) h(no – k)

4. Suma. Se suman todos los valores de la secuencia producto v(k) y se obtiene el valor de la salida en el instante n = no.

Con este procedimiento se obtiene la salida del sistema en un instante determinado, digamos en n = no. En general, lo importante es determinar la salida del sistema para cualquier instante de tiempo, es decir, –∞ < n < ∞.

En consecuencia,los pasos 2 y 4 del procedimiento descrito atrás deberán repetirse para todos los posibles valores del desplazamiento de n.

PROPIEDADES
* Elemento neutro:
x[n] *δ[n] = x[n]

* Conmutativa:
xn* hn= hn* x[n]

* Asociativa:
xn*h1n*h2n= xn*h1n*h2[n]

xn*h1n*h2n= xn*h2n*h1[n]

xn*h1n*h2n= xn*h1[n] *h2[n]

* Distributiva:
xn*h1n+ h2n= xn*h1n+ xn*h2[n]

Ejemplo 11. Realice la convolución de las siguientes secuencias.

SOLUCION
y0=k=-28xkh0-k
y0=0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0+ 0 + 0 + 0

y0=1

y1=k=-28xkh1-k
y1=0 + 0 + 0 + 2 + 1 + 0 + 0 + 0+ 0 + 0 + 0

y1=3
y2=k=-28xkh2-k
y2=0 + 0 + 0 + 3 + 2 + 1 + 0 + 0+ 0 + 0 + 0

y2=6
y3=k=-28xkh3-k
y3=0 + 0 + 0+ 2 + 3+ 0 + 0 + 0+ 0 + 0 + 0

y3=5
y4=k=-28xkh5-k
y4=0 + 0 + 0+ 0 + 0+ 0 + 3 + 0+ 0...