trabajo

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
IME261
PROF.: Dra. Sonia Salvo Garrido

Ayudantes: Tamara Manzano
Felipe Matheson
Primer Semestre 2006

Unidad I: Probabilidad

1.0 Introducción
• Los primeros estudios sobre probabilidad tuvieron su origen en los
juegos de azar.
• Por muchos años las ideas de probabilidades estuvieron asociadas
a los juegos de azar, hasta que en el siglo XVIII los matemáticos
Laplacey Gauss muestran que las probabilidades son también
aplicables a otras actividades.
• La teoría de probabilidades conocida hoy en día fue desarrollada
por el matemático Kolmogorov quien en su paper titulado
“Foundations of Theory of Probability”, desarrolló la teoría
axiomática de la probabilidad.
• En esta unidad se presentará un modelo matemático que recoja la
idea vaga de probabilidad que setiene y le de un contexto preciso.

1.1 Conceptos Importantes
- Experimento Aleatorio: Operación cuyo resultado no puede ser
predicho con certeza antes de realizarlo.
- Espacio Muestral (Ω): Conjunto de resultados posibles al
desarrollar un experimento, que posee las siguientes
características:
Si Ω tiene un número finito o infinito numerable de elementos,
se dirá que es Discreto.
Si Ω tienecomo elementos todos los puntos de algún intervalo
de la recta real, se dirá que es Continuo.
- Evento o Suceso: Subconjunto cualquiera del espacio muestral.

Ω

E espacio muestral

espacio muestral

A
A’

SUCESO
COMPLEMENTO

SUCESO

E espacio muestral

E espacio muestral

A

A

B

B

UNIÓN

INTERSECIÓN

Ejemplo 1: Seleccionar al azar una ficha desde una caja con seis fichas.
El experimentoconsiste en extraer una ficha. Si las fichas están
enumeradas del 1 al 6, entonces Ω={1,2,3,4,5,6}, con lo que el
resultado de una extracción es un número entre el 1 y el 6.
Considerando ahora la misma caja y suponiendo que se extraen dos fichas
a la vez. Los resultados de las dos extracciones se pueden denotar como
pares ordenados (i, j ), i 1, 6; j 1, 6, i  j, donde la primera componente
denota elnúmero de la primera ficha extraida y la segunda el número de la
otra ficha. En esta caso el espacio muestral tendrá 30 elementos. Así
 {(i, j ); i 1, 6; j 1, 6, i  j}
Finalmente , es claro que en ambos casos  es un conjunto discreto.

Ejemplo 2: Observar las caras de dos dados al ser lanzados al aire.
El experimento consiste en lanzar dos dados al aire, por lo que el espacio muestral es:

{(i, j ); i 1, 6; j 1, 6 }
Este experimento tiene 36 eventos elementales. Se definen los siguientes eventos:
A1: “La suma de los dos números es divisible por tres”.
A2: “Los dos dados muestran el mismo número”.
A3: “El segundo número es el cuadrado del primero”.
Evidentemente estos eventos son compuestos y se pueden describir:

A1 {(i, j )   : i  j 3n; n 1,4}
A2 {(i, j )   : i  j}
A3{(i, j )   : j i 2}
A2  A3 {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (2,4)}
A1  A3 {( 2,4)}, etc.

Definición de probabilidad
 Probabilidad: Es una función de conjunto, definida sobre una clase A

de subconjuntos del espacio muestral Ω, tal que a un subconjunto
cualquiera A de A le asocia un número P(A), llamado probabilidad de
A, y que debe satisfacer los siguientes axiomas:

Ax.1 P ()1
Ax.2 P ( A) 0


Ax.3 P  Ai   P ( Ai ),  Ai  A j , i  j.
i  i
E espacio muestral
100%

E espacio muestral
A
B

 A es una clase específica, una σ-álgebra, que incluye al conjunto ø,
al espacio muestral y es cerrada bajo uniones e intersecciones
numerables de sus conjuntos.
 La formulación de los axiomas de probabilidad completa la
descripción matemática de un experimento aleatorio,que consta de
tres elementos fundamentales: un espacio muestral Ω, una σ-álgebra
de eventos A, y la función de probabilidad P.
 La terna ordenada (Ω, A, P) constituye un espacio de probabilidad
asociado a un experimento aleatorio.
En todo experimento aleatorio, el espacio muestral Ω juega el papel
de conjunto universal de manera que todos los complementos son
tomados con respecto a Ω....