Trabajo

´ ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIER´ IA ´ INFORMATICA INGENIER´ TECNICA EN IA ´ ´ ´ INFORMATICA DE GESTION

Apuntes de

´ ALGEBRA LINEAL

por Fco. Javier Cobos Gavala Amparo Osuna Lucena Rafael Robles Arias Beatriz Silva Gallardo

Contenido

1 Matrices y determinantes 1.1 1.2 Notaci´n y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Aritm´tica de matrices . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . e 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.3 Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Producto por un escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trasposici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Otras definiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 3 3 4 4 5 5 6 6 8 10 14 14 1517 18 20 21 25 26

Transformaciones elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 1.3.2 Transformaciones elementales fila. . . . . . . . . . . . . Transformaciones elementales columna. . . . . . . . . .

1.4 1.5

Algoritmo de Gauss-Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinante de una matriz cuadrada. . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 1.5.2 Definiciones. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6 1.7

Factorizaci´n triangular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Inversa de una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 C´lculo de la matriz inversa. . . . . . . . . . . . . . . . a

1.8

Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Sistemas deecuaciones lineales. Espacios vectoriales. 2.1 Notaci´n y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o i

ii 2.2

Contenido M´todo de eliminaci´n gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . e o 2.2.1 2.3 2.4 Sistemas de ecuaciones lineales homog´neos . . . . . . e 28 32 34 37 40 41 45 47 49 49 50 51 51 51 52 53 54 56 57 60 62 64 65 65 66 67 70 79 82

Espacios Vectoriales . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dependencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 Espacios vectoriales de tipo finito . . . . . . . . . . . . Bases de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . .

Rango de un conjunto de vectores . . . . . . . . . . . . Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5

Variedades lineales . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 2.5.2 Caracterizaci´n de los subespacios vectoriales . . . . . o Variedad engendrada por un conjunto finito de vectores

2.6

Operaciones con variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 2.6.2 2.6.3 2.6.4 Intersecci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Uni´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Suma .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suma directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7

Ecuaciones de los subespacios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 2.7.2 Ecuaciones del subespacio suma . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones del subespacio intersecci´n . . . . . . . . . o

2.8 2.9

Propiedades de los espacios vectoriales de tipo finito. . . . . .Cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.1 Espacio fila de A: [R(At )]. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.2 Espacio nulo de A: [N (A)]. . . . . . . . . . . . . . . . 2.10.3 Espacio columna de A. [R(A)]. . . . . . . . . . . . . .

2.10 Espacios fundamentales asociados a una matriz. . . . . . . . .

2.11 Teorema de Rouche-Fr¨benius . . . . . . . . . . . . . . . . .. o 2.12 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Aplicaciones lineales. 3.1 N´cleo e Imagen de una aplicaci´n lineal. . . . . . . . . . . . . u o

Contenido 3.2 Ecuaciones de una aplicaci´n lineal. . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.3 Matriz asociada a una aplicaci´n lineal. . . . . . . . . . o Matrices equivalentes. . . . . . . . . . . . ....