TrabajoII

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Capítulo 2: Límites y continuidad

Otra propiedad importante de los límites se expone en el teorema que veremos a continuación, y en la siguiente sección presentaremos una demostración.
TEOREMA 5
Si f (x) # g(x) para toda x en algún intervalo abierto que contenga
a c, excepto posiblemente en x 5 c, y los límites de f y g existen cuando x se
aproxima a c, entonces
lím ƒsxd … lím gsxd.

x: cx: c

Es falsa la afirmación que resulta de cambiar, en el teorema 5, la desigualdad menor o igual
(#) por la desigualdad estricta menor que (,). La figura 2.14a indica que para u Z 0, 2u u u ,
sen u , uuu , pero que en el límite cuando u : 0, se cumple la igualdad.

Ejercicios 2.2
Límites y gráficas
1. Para la función g(x), que se grafica a continuación, determine los
límites siguientes o expliquepor qué no existen.
a. lím g sxd
x:1

b. lím g sxd

c. lím g sxd

x:2

y
y ϭ f(x)

1

d. lím g sxd

x: 3

x: 2.5

–1

y

1

2

x

–1
y ϭ g(x)
1

1

3

2

4. ¿Cuáles de los siguientes enunciados, con respecto a la función
y 5 f (x) graficada aquí, son verdaderos y cuáles son falsos?

x

a. lím ƒsxd no existe.
x: 2

2. Para la función f(t), que se grafica aquí, determine los límites siguientes oexplique por qué no existen.
a. lím ƒstd
t: -2

b. lím ƒstd

c. lím ƒstd

t : -1

t :0

d.

lím ƒstd

t : -0.5

b. lím ƒsxd = 2
x: 2

c. lím ƒsxd no existe.
x: 1

d. lím ƒsxd existe para todo punto x0 en (21, 1).
x: x0

s

e. lím ƒsxd existe para todo punto x0 en (1, 3).
x: x0

s ϭ f(t)
–2

–1

1

y
y ϭ f(x)

0

1

t

1

–1

–1

1

2

3

x

–1
–2

3. ¿Cuáles de los siguientes enunciados, conrespecto a la función
y 5 f(x) graficada aquí, son verdaderos y cuáles son falsos?
a. lím ƒsxd existe.
x:0

b. lím ƒsxd = 0
x:0

c. lím ƒsxd = 1
x:0

d. lím ƒsxd = 1
x:1

e. lím ƒsxd = 0
x:1

f. lím ƒsxd existe para todo punto x0 en (21, 1).
x:x0

g. lím ƒsxd no existe.
x:1

Existencia de límites
En los ejercicios 5 y 6, explique por qué los límites no existen.
x
1
6. lím
x: 1 x - 1
ƒxƒ
7. Suponga queuna función f(x) está definida para todos los valores
reales de x, excepto para x 5 x0. ¿Puede decir algo acerca de la existencia de límx:x0 ƒsxd ? Dé razones para su respuesta.
5. lím

x: 0

8. Suponga que una función f(x) está definida para toda x en [21, 1].
¿Puede decir algo acerca de la existencia de límx:0 ƒsxd ? Justifique
su respuesta.

2.2 Límite de una función y leyes de los límites
9. Silímx:1 ƒsxd = 5 , debe estar definida en x 5 1? Si es así, ¿debe
ser f (1) 5 5? ¿Puede concluir algo acerca de los valores de f en
x 5 1? Explique.
10. Si ƒs1d = 5 , ¿límx:1 ƒsxd debe existir? Si es así, ¿entonces debe
cumplirse que límx:1 ƒsxd = 5 ? ¿Es posible concluir algo acerca de
límx:1 ƒsxd ? Explique.

Aplicación de las reglas de los límites
51. Suponga que límx:0 ƒsxd = 1 y límx:0 g sxd= - 5 . Indique las reglas del teorema 1 que se usaron para realizar los pasos (a), (b) y (c)
de los siguientes cálculos.

lím

x: 0

lím s2ƒsxd - g sxdd

2ƒsxd - g sxd

=

sƒsxd + 7d2>3

11. lím s2x + 5d

12. lím s -x + 5x - 2d

13. lím 8st - 5dst - 7d

14. lím sx3 - 2x2 + 4x + 8d

x: 2

x + 3
15. lím
x:2 x + 6
17. lím 3s2x - 1d2
x : -1

19. lím s5 - yd4>3
y : -3

21. lím

h: 0

3

23h + 1 + 1

s:2>3

y: 2

=

y2 + 5y + 6

20. lím s2z - 8d1>3
z :0

25h + 4 - 2
22. lím
h
h: 0

x2 + 3x - 10
x + 5
x : -5

26. lím

x2 - 7x + 10
x - 2

t2 + t - 2
t :1
t2 - 1

28. lím

t2 + 3t + 2
t2 - t - 2

27. lím

- 2x - 4
x3 + 2x2

29. lím

x : -2
1
x

31. lím

- 1

u: 1

x:1

30. lím

25hsxd

y: 0

x: 4

x - 1

2x2 + 12 - 4
39. lím
x - 2
x:2

+

2 - 2x - 5
x + 3

2 - 2x

42. lím

x: 4

2x2 + 8 - 3
x + 12x + 5 - 3

5 - 2x2 + 9

Determine los límites en los

44. lím sen2 x

45. lím sec x

46. lím tan x

1 + x + sen x
47. lím
3 cos x
x:0

48. lím (x2 - 1)(2 - cos x)

x:0

x:0

lím 2x + 4 cos (x + p)

x: 0

x: 0

x: 0

50. lím 27 + sec2 x
x: 0

s2ds1d - s -5d

=

2>3

s1 + 7d

7
4

x: 1

(a)

lím spsxds4 - rsxddd
lím 5hsxd
4x:
1

A lím p(x) B A lím A 4 - r(x) B B

=

hsxd
45xlím
:1

A lím p(x) B A...