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Métodos de integración
Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función.
Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) tal que
,
lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale ahallar una función F(x) tal que f(x) es su derivada:[notas 1]
.
Contenido * 1 Generalidades * 1.1 Integración directa * 1.2 Funciones analíticas * 2 Método de integración por sustitución * 2.1 Ejemplo #1 * 2.2 Ejemplo #2 * 3 Método de integración por partes * 4 Método de integración por cambio de variables * 5 Integrales de funciones trigonométricas * 5.1Integral que contiene potencias de senos y cosenos * 5.1.1 Cuando n es impar * 5.1.2 Cuando m es impar * 5.1.3 Cuando m y n son pares * 5.1.4 Ejemplo #1 * 5.2 Integrales que contiene potencias de tangentes y secantes * 5.2.1 Cuando n es par * 5.2.2 Cuando m es impar * 5.2.3 La tangente tiene potencia par * 5.2.4 La Secante tienepotencia impar * 5.2.5 Ninguno de los anteriores * 5.3 Reducción a funciones racionales * 6 Integrales de funciones racionales * 7 Integración numérica * 8 Referencias * 8.1 Notas * 8.2 Enlaces externos * 8.3 Videos |
Generalidades
El problema de resolver una integral indefinida o buscar una primitiva es mucho más complicado que el problema de calcular laderivada de una función. De hecho, no existe un algoritmo determinista que permita expresar la primitiva de una función elemental, es más, la primitiva de muchas funciones elementales de hecho no es ninguna función elemental. Por ejemplo, no existe ninguna función elemental F(x) que sea tal que:

Si se consideran grupos de funciones elementales de un cierto tipo (polinómicas, fracciones racionales,trigonométricas, etc.) entonces el problema de encontrar la primitiva puede resolverse con problemas elementales llamados métodos de integración como los tratados a continuación.
Integración directa
En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea pordisponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada. La integración directa requiere una confeccionar una tabla de funciones y sus antidervidas o funciones primitivas.
Ejemplo
Calcular la integral indefinida .
En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de es . Por tanto:
Ejemplo
Calcular la integralindefinida.
Una fórmula estándar sobre derivadas establece que . De este modo, la solución del problema es .
No obstante, puesto que la función esta definida en los números negativos también ha de estarlo su integral, así que, la integral escrita de una forma rigurosa sería ln(|x|)
Funciones analíticas
El problema de integración es trivial si se consideran funciones analíticas y se admite comoprimitivas potencias de series formales ya que:

] Método de integración por sustitución
El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tablapara encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.
Ejemplo #1
Suponiendo que la integral a resolver es:

En la integral se reemplaza con ():
(1)
Ahora se necesita sustituir también para que la integral quede sólo en función de :
Se tiene que por tanto derivando se obtiene
Se despeja y se agrega donde corresponde en (1):...