Trabajos de Ciencias

TAREA # 8 MAT 240
ECUACIONES DIFERENCIALES
INGENIERIA CIVIL MATEMATICA Ma. 06.11.2007 η
1.- Considere el problema de valores propios
y´´ -λy = 0 , y(0) + y(1)= 0 , y´(0) = 0
(a) ¿Es un problema de Sturn – Liouville?
(b) ¿Existen valores y funciones propias?
(c) Si existen funciones propias ¿Son ortogonales?
2.-Probarque la distancia entre dos ceros consecutivos de una solución no
trivial de la ecuación
y ( x) + (1 −
´´

n2 − 1
x

2

4 ) y ( x) = 0

es menor que πpara 0 ≤ n < 12 , y es arbitrariamente cercana a π para x
suficientemente grande. ¿Cómo se distribuyen los ceros de y(x) para
n > 1/2?
(Ayuda : Compare con y ´´ (x) + y ( x) = 0 o´ y ´´ ( x) + (1 + ε 2 ) y ( x) = 0 )
3.- Considere la ecuación
1 +ε
y ( x) + p( x) y ( x) = 0, con p( x) ≥ 4 2 ; ε > 0 ; 0 < a ≤ x < ∞
x
´´Probar que toda solución tiene infinitos ceros. Pero toda solución no
trivial tiene a lo más un cero si p( x) ≤ 1 2
4x

t

(Ayuda : hacer x = e )
4.- Seaf : [a, b] → R , f ∈ C 2 , f ( x) ≠ 0 ∀x ∈ [a, b] . Se define la derivada
Schwarziana de f , respecto a x , por :
´

(i)
(ii)

2

⎜
{ f , x} = ⎛ f ´´(x) ⎞− 1 ⎛ f ´´(x) ⎞
⎜ f ´(x) ⎟ 2 ⎜ f ´(x) ⎟
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
ax + b
Verifique { f , x} = 0 , si f ( x) =
, ad − bc ≠ 0 , − ( d / c) ∉ [a, b]
cx + d
1
Seanu(x), v(x) soluciones l.i. de y´´+ { f , x} y = 0
2

Entonces
{f, x} = {u(x)/v(x), x}
(iii) Resolver {f, x} = 0
Ayuda :Hacer h = f´´/f´ y resuelva primero parah .Luego use
⎛ f ´´(x) ⎞ d
⎜
⎜ f ´(x) ⎟ = dx ln f ´
⎟
⎝
⎠

(iv)

Verifique si {g, x} = {f, x} .Entonces g(x) = T(f(x)) , donde T
es como en (i)